- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
Пусть - векторное поле, заданное в области , - регулярная двухсторонняя поверхность, содержащаяся в , - единичный вектор нормали к некоторой стороне поверхности.
Потоком векторного поля через поверхность в направлении вектора называется:
.
Пусть поверхность - замкнута и - вектор внешней нормали. Если , то внутри объёма, ограниченного поверхностью , имеются источники, если - то имеются стоки.
Дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке называется:
,
где - объём тела, ограниченного поверхностью . Дивергенция обозначается как .
Гидромеханический смысл дивергенции – это наличие в точке источника или стока и их интенсивность.
Теорема: Пусть векторное поле задано в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда:
,
при условии, что функции имеют соответствующие производные.
Доказательство.
Рассмотрим интеграл . Имеем:
.
Согласно формуле Остроградского получаем:
.
Используя теорему о среднем, имеем:
. что и требовалось доказать.
Используя теорему, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в инвариантной форме:
.
§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
Согласно определению, работа силы вдоль контура есть:
, где - единичный вектор касательный к .
Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой линии называется работа, выполненная полем при обходе этой линии ( ).
Пусть векторное поле задано в виде . Тогда имеем выражение для циркуляции векторного поля:
.
Используя формулу Стокса, получаем:
, (1)
если функции , , имеют непрерывные частные производные первого порядка.
Обозначим вектор, который в дальнейшем будем называть ротором или вихрем векторного поля . Тогда из (1) получаем:
. (2)
Докажем инвариантность этого определения.
Мы будем исходить, из того, что криволинейный интеграл не зависит от выбора системы координат. Возьмём плоский контур , а в качестве - участок плоскости, ограниченный контуром . Тогда вектор будет постоянный. Поэтому, используя формулу (2) и применяя теорему о среднем, получаем:
,
где - площадь . Отсюда имеем, что:
.
Если стягивать контур в точку так, что бы он всё время оставался в одной плоскости, то и точка переместится в точку , то есть:
. (3)
Из (3) следует, что проекция ротора на вектор не зависит от выбора системы координат, так как в правой части выражение не зависит от выбора системы координат. Так как - произвольный вектор, то и ротор не зависит от выбора системы координат, что и требовалось доказать.
Таким образом, формула (2) представляет собой формулу Стокса в векторной форме.
Для вычисления ротора в прямоугольной декартовой системе координат пользуются следующей символической формулой:
.
Физический смысл ротора.
Пусть - векторное поле скоростей стационарного течения несжимаемой жидкости. Поместим в жидкость малое колёсико радиуса (см. рис. 22). Рассчитаем скорость вращения колеса:
,
где - обод колеса. Имеем:
,
где - плоскость колеса. Согласно теореме о среднем получаем:
.
Очевидно, что , где - угловая скорость ( направлен по оси вверх).
Если векторы и коллинеарные, то
то есть ротор указывает положение оси, в котором скорость вращения колеса максимальна.