- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§14. Формула Остроградского-Гаусса
О бласть трёхмерного пространства назовём z-цилиндрической, если она ограничена сверху поверхностью , снизу – поверхностью , где , а сбоку - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси z (см. рис. 17).
Подобным образом можно определить x-цилиндрические и y-цилиндрические поверхности.
Область назовём простой, если её можно разбить на конечное множество, как x-цилиндрических, так и y-цилиндрических, так и z-цилиндрических поверхностей.
Теорема Остроградского:
Пусть в простой области , ограниченной поверхностью , определены непрерывные функции , , , имеющие непрерывные частные производные , , в области . Тогда имеет место формула Остроградского:
, (1)
где нормаль к поверхности внешняя, и искомая поверхность замкнута (например, шар).
Доказательство.
1-й этап.
Рассмотрим интеграл:
,
где - z-цилиндрическая область. Тогда:
.
, (2)
где часть поверхности области , задаваемая функцией .
, (3)
где часть поверхности области , задаваемая функцией .
Обозначим боковую поверхность через , тогда:
(4)
Тогда, складывая (2), (3) и (4), получим:
.
Таким образом, формула Остроградского для z-цилиндрической поверхности имеет вид:
.
2-й этап.
Пусть область простая. Тогда её можно разделить на конечное множество z-цилиндрических поверхностей . Имеем:
, (5)
где - поверхность области .
П оверхности состоят из частей поверхности и поверхностей, которыми разделена область на области . Поделы входят в состав двух поверхностей , причём с разными знаками, следовательно при интегрировании по этим частям знаки интегралов будут противоположными, а модули совпадать, значит при суммировании они взаимно уничтожатся. Следовательно, имеем:
Значит формула (5) справедлива для всякой простой области, ограниченной кусочно-регулярной поверхностью.
3-й этап.
Аналогично доказываются равенства:
(6)
(7)
4-й этап.
Складывая (5),(6),(7), получим формулу (1), что и требовалось доказать.
Замечание.
Формула Остроградского-Гаусса может быть использована для вычисления объёма тела, ограниченного поверхностью (где - регулярная поверхность). Поскольку , то из формулы Остроградского-Гаусса следует:
,
если , . Чаще всего на практике используют следующую формулу:
.
§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
Рассмотрим двухстороннюю поверхность S, заданную следующим уравнением:
,
где . Данная поверхность ограниченна некоторой кусочно-гладкой линией .
Обход поверхности по контуру называется согласованным с выбранной стороной поверхности, если наблюдатель, двигаясь по выбранной стороне поверхности вдоль контура , видит поверхность слева, и нормаль при этом направлена вверх.
Пусть в области D содержится регулярная поверхность S со своей границей, и пусть в области заданы функции , , , непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место формула Стокса:
. (1)
Причём в данной формуле обход контура согласован со стороной поверхности S.
Доказательство.
Рассмотрим интеграл по поверхности :
. (2)
Переходя к координатам , имеем:
(3)
где , коэффициенты и - якобианы, причём:
, (4)
. (5)
Подставляя (4) и (5) в (2), имеем:
.
Так как, , , , , имеем:
.
Согласно формуле Грина имеем:
,
где ограничивает область .
Учитывая, что контур с помощью отображения отображается в границу поверхности , то так как , имеем:
.
То есть, согласно (2) получили:
. (6)
Аналогично получаем выражения
, (7)
. (8)
Складывая (2),(3),(4) получаем:
,
что и требовалось доказать.