- •Раздел 1:Основы дифференциальной геометрии §1. Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная и интеграл Римана вектор-функции.
- •§2. Кривые в пространстве, длина дуги кривой.
- •§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.
- •§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.
- •§5. Вычисление кривизны и кручения
- •§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
- •§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •§8. Первая квадратичная форма поверхности
- •§9. Площадь поверхности
- •§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
- •§11.Поверхностный интеграл первого рода: теорема о существовании. §12. Поверхностные интегралы второго рода
- •§13.Вычисление поверхностных интегралов второго рода
- •§14. Формула Остроградского-Гаусса
- •§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса
- •§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- •Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
- •§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
- •§20. Поток векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме.
- •§21. Циркуляция и завихренность векторного поля. Ротор. Формула Стокса в векторной форме.
- •§22. Оператор Гамильтона
- •§23. Потенциальные поля.
- •§24. Соленоидальные поля
- •§25.Ортогональные криволинейные системы координат. Координатные линии и поверхности. Параметры Ламе.
- •§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
- •1) Цилиндрическая система координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
- •§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
- •§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
- •§30.Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле.
- •§31. Основная лемма теории тригонометрический рядов Фурье.
- •§32. Теорема о представлении кусочно-дифференцируемой функции рядом Фурье
- •§33. Разложение непериодической функции в ряд Фурье на отрезке [-р;р] и [-l; l].
- •§34. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье, разложение по косинусам и синусам. Примеры.
- •§35. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •§36. Замкнутость и полнота ортогональной системы функций
- •§37. Интеграл Фурье
- •§ 38. Преобразования Фурье
§9. Площадь поверхности
Р ассмотрим регулярную поверхность , заданную уравнением , где . Разобьём данную поверхность на элементы , где . Обозначим - диаметр наименьшего шара, в который можно вписать участок .
Обозначим и назовём его диаметром разбиения.
Выберем на каждом участке точку и проведём через эту точку касательную плоскость к поверхности .
Обозначим эти плоскости . Ортогональную проекцию участка на плоскость обозначим . Ортогональная проекция - это плоская фигура. Её площадь обозначим и составим сумму:
, (1)
где – полная площадь поверхности .
Площадью назовём предел суммы (1) при , причём этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности на участки, ни от выбора точек .
Теорема: Площадь регулярной поверхности, заданной уравнением , где может быть вычислена по формуле:
.
где для регулярной поверхности всегда выполняется равенство .
Доказательство.
Разобьём поверхность на участки , и на каждом участке выберем точки . Так как поверхность регулярная, то через можно провести касательную плоскость и выбрать систему координат таким образом, чтобы оси OX и OY лежали в касательной плоскости, точка O совпадала с , а ось была перпендикулярна плоскости. Тогда в данной локальной системе координат уравнение участка поверхности можно записать в параметрическом виде:
.
А теперь спроектируем на касательную плоскость. Получим фигуру , её уравнения в данной системе координат имеют следующий вид:
,
где . Площадь этой фигуры:
.
Переходя к координатам , имеем:
,
где при . Окончательно получаем:
,
где - площадь поверхности . Следовательно, вся площадь равна:
.
Переходя к пределу, когда получим:
.
Так как (так как при ) , то последний предел идёт в ноль.
Следовательно, площадь поверхности равна:
,
что и требовалось доказать.
В §10 мы записали, что
.
Очевидно, что
.
Исходя из этого, получаем:
.
Если поверхность задана в виде , где , тогда (§10) , , . Следовательно, имеем:
.
Функцию можно представить в векторном виде следующим образом:
.
Вектор нормали к поверхности имеем вид . Запишем направляющие косинусы этого вектора:
, , .
Следовательно:
,
где - угол между нормальным вектором и осью .
Отсюда следует, что если поверхность задана уравнением , где , то её площадь можно найти по формуле: .
§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
Рассмотрим регулярную поверхность . Вектор представим в следующем виде:
.
Пусть E,F,G - коэффициенты первой квадратичной формы данной поверхности, и пусть в каждой точке поверхности определена непрерывная функция . Обозначим данную поверхность .
Поверхностным интегралом первого рода называют:
. (1)
Физический смысл поверхностного интеграла первого рода.
Пусть на поверхности распределена масса, плотность которой является функцией . Тогда сумма приближённо равна массе этой поверхности, а переходя к пределу получим массу поверхности, то есть:
.
С помощью поверхностного интеграла первого рода можно находить координаты центра масс, момент инерции материальных поверхностей с плотностью .
Координаты центра масс:
,
,
.
Момент инерции:
,
,
.
Свойства поверхностного интеграла первого рода следуют согласно определению (1) из свойств двойного интеграла. А также: если поверхность состоит из нескольких поверхностей , (причём ) то в этом случае:
.
Теорема о среднем: пусть существует поверхностный интеграл первого рода ,тогда:
Существует k [inf(f) , sup(f)] такой что : k*S;
Интегральное среднее: k=