- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
Рассмотрим систему линейных уравнений:
с действительной матрицей и столбцом свободных членов . Тогда и . И исходная система имеет вид: , где – невязка вектора и .
Соответственно, окончательно имеем:
.
Пример. Методом скорейшего случая решить систему уравнений:
Решение. В качестве начального приближения выберем .
Тогда ,
,
.
Вычисляя коэффициент , получим: .
Отсюда , причем невязка . Аналогично вычисляя, получим: ;
;
;
.
Процесс скорейшего случая для линейных систем сходится медленно. Так, здесь точное решение: ; ; ; .
4. Приближение функций
4. 1. Метод наименьших квадратов
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами , где – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.
Рис. 12
При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.
Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость , при которой обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной . В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен . Формула минимизируемой функции примет вид . Условия минимума можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, .
Получим систему уравнений
или , .
Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:
, .
Введем обозначения: . Последняя система может быть записана так: , .
Её можно переписать в развернутом виде:
.
Матричная запись системы имеет следующий вид: . Для определения коэффициентов , и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы и решить последнюю систему уравнений. Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.
Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит
. Рассмотрим частные случаи и .
Линейная аппроксимация .
.
;
, .
Отсюда система для нахождения коэффициентов имеет вид:
.
Её можно решить методом Крамера.
Квадратичная аппроксимация .
.
.
.
, .
Или в развёрнутом виде
Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.
Пример. Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
-1 |
1 |
2 |
4 |
6 |
Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .
Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:
.
Решая эту систему, получим:
.
.
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:
.
И коэффициенты равны:
. Тогда
.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
Таблица 3
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
-1 |
1 |
2 |
4 |
6 |
|
-1 |
0,7 |
2,4 |
4,1 |
5,8 |
|
-1 |
0,62 |
2,24 |
4 |
6,9 |
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
.
.