- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е. . Предполагаем, что функция непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале . Положим . Проведем касательную к графику функции в точке (рис. 8).
Рис. 8
Уравнение касательной будет иметь вид: .
Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив : .
Аналогично поступим с точкой , затем с точкой и т. д., в результате получим последовательность приближений , причем
. (6)
Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
Теорема. Пусть – простой корень уравнения и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:
, (7)
где .
Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: (Здесь ).
Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:
. (8)
Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
.
Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .
|
|
|
|
-11 |
3453 |
-5183 |
0,6662 |
-10,3336 |
307,3 |
4276,8 |
0,0718 |
-10,2618 |
3,496 |
4185,9 |
0,0008 |
-10,261 |
0,1477 |
- |
- |
. Поэтому .
1.6. Видоизменённый метод Ньютона
Если производная мало изменяется на отрезке , то в расчетной формуле метода можно положить: . Отсюда для корня уравнения получаем последовательные приближения
.
Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой , в ее фиксированной точке . Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, если сложна.