- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
2.1. Постановка задачи
Требуется найти решение системы линейных уравнений:
или в матричной форме: , где
По правилу Крамера система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля и значение каждого из неизвестных определяется следующим образом: , где – определитель матрицы, получаемой заме-
ной -го столбца матрицы столбцом правых частей .
Непосредственный расчет определителей для больших является очень трудоемким.
Известные в настоящее время многочисленные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений распадаются на две большие группы: прямые методы и методы итераций.
Прямые методы всегда гарантируют получение решения, если оно существуют, однако, для больших требуется большое количество операций, и возникает опасность накопления погрешностей.
Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.
Норма матрицы является некоторой обобщенной оценкой значений элементов матрицы. Для её вычисления можно использовать следующие выражения:
,
, .
2.2. Метод простой итерации
Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений
(1)
с квадратной невырожденной матрицей привести к виду
, (2)
где – квадратная невырожденная матрица с элементами , – вектор-столбец неизвестных , – вектор-столбец с элементами , . Существуют различные способы приведения системы (1) к виду (2). Рассмотрим самый простой.
Представим систему в развернутом виде:
(3)
Из первого уравнения системы (3) выразим неизвестную :
из второго уравнения – неизвестную :
и т. д. В результате получим систему:
(4)
Матричная запись системы (4) имеет вид (2). На главной диагонали матрицы находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:
(5)
Очевидно, что диагональные элементы матрицы должны быть отличны от нуля. Выберем произвольно начальное приближение. Обычно в качестве первого приближения берут или . Подставим начальное приближение в правую часть (4). Вычисляя левые части, получим значения . Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем приближение строится следующим образом:
Последняя система представляет собой расчетные формулы метода простой итерации.
Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации.
Если элементы матрицы удовлетворяют условию:
, (6)
то итерационная последовательность сходится к точному решению .
Условие (7) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы , так как оно означает, что модуль диагонального элемента -ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, .
Необходимо помнить, что условие сходимости (6) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.
Справедлива следующая оценка погрешности:
, (7)
где .
Правую часть оценки (7) легко вычислить после нахождения очередного приближения.
Иначе достаточное условие (6) для матрицы может быть переформулирована так: если , то итерационный процесс (6) сходится к точному решению системы.
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (7) итерационный процесс следует закончить, как только на -ом шаге выполнится неравенство: .
Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство , где .
Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:
. (8)
В других случаях использование последнего критерия (8) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.
Пример 3.
Применим метод простой итерации для решения системы уравнений
.
Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов:
, ,
, .
Пусть требуемая точность . Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.
Приведем систему к виду:
Величина равна 0,1179, т. е. выполняется условие и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (8). В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: . Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины , , а следовательно, и не станут меньше .
Последовательно вычисляем:
при
при
.
при
.
при
.
Вычисляем модули разностей значений при и :
. Так как все они больше заданной точности , продолжаем итерации.
При
.
Вычисляем модули разностей значений при и :
. Все они меньше заданной точности , поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением системы являются следующие значения:
.
Для сравнения приведем точные значения переменных:
.