- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
2.3. Метод Зейделя
Модификацией метода простой итерации можно считать метод Зейделя.
В методе простой итерации на -ой итерации значения , вычисляются подстановкой в правую часть (6) вычисленных на предыдущей итерации значений. В методе Зейделя при вычислении используются значения , , , уже найденные на -ой итерации, а не , , …, , как в методе простой итерации, т.е. -е приближение строится следующим образом:
(9)
Эти формулы являются расчетными формулами метода Зейделя.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы:
и .
Матричная запись расчетных формул (9) имеет вид: . Так как , точное решение исходной системы удовлетворяет равенству: .
Сходимость метода Зейделя. Достаточным условием сходимости метода Зейделя является выполнение неравенства:
. (10)
Неравенство (10) означает, что для сходимости метода Зейделя достаточно, чтобы любая норма матрицы был меньше единицы.
Если выполнено условие (10), то справедлива следующая оценка погрешности:
, (11)
где – норма матрицы .
Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , итерационный процесс следует закончить, как только на -ом шаге выполнится неравенство: . Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство , где . Если выполняется условие
, то можно пользоваться более простым критерием окончания:
.
Метод Зейделя, как правило, сходится быстрее, чем метод простой итерации. Однако возможны ситуации, когда метод простой итерации сходится, а метод Зейделя сходится медленнее или вообще расходится.
Пример. Применим метод Зейделя для решения системы уравнений из предыдущего примера. Первые шаги полностью совпадают с процедурой решения по методу простых итераций. Проведем теперь итерации методом Зейделя.
При
.
При вычислении используем уже полученное значение :
.
При вычислении используем уже полученные значения и :
.
При вычислении используем уже полученные значения , , :
.
Аналогичным образом проведем вычисления при и .
Получим:
при
.
при
.
Известны точные значения переменных:
.
Сравнение с предыдущим примером показывает, что метод Зейделя сходится быстрее и дает более точный результат.
3. Решение систем нелинейных уравнений
3.1. Постановка задачи
Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений. Пусть для вычисления неизвестных требуется решить систему нелинейных уравнений:
, иначе .
В отличие от решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.
В общем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.