- •Численные методы
- •Введение
- •1. Решение нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •1.2. Основные этапы отыскания решения
- •1.3. Метод половинного деления
- •1.4. Метод простой итерации
- •Приведение уравнения к виду для обеспечения выполнения неравенства
- •1.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •1.6. Видоизменённый метод Ньютона
- •1.7. Метод хорд
- •1.8. Комбинированный метод
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Метод простой итерации
- •2.3. Метод Зейделя
- •3. Решение систем нелинейных уравнений
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений
- •3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
- •3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы
- •4. Приближение функций
- •4. 1. Метод наименьших квадратов
- •4.2. Построение интерполяционных многочленов
- •Многочлен Лагранжа
- •Многочлен Ньютона с конечными разностями
- •5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
- •6. Вычисление определённых интегралов. Метод симпсона (метод парабол)
- •7. Численное решение дифференциальных уравнений
- •7.1. Постановка задачи Коши
- •7.2. Метод Эйлера
- •7.3. Модифицированные методы Эйлера
- •7.4. Метод Рунге – Кутта
- •Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений 26
- •3.3. Метод итерации для нелинейной системы уравнений 30
3.2. Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям , благодаря которым решение исходной системы запишется в виде: . Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:
Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:
в матричном виде:
Значения и их производные вычисляются при .
Определителем последней системы является якобиан:
.
Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:
.
В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем
или .
Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: , – метод сходится с квадратичной скоростью.
В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны . После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:
Предположим, что якобиан системы при и отличен от нуля:
.
Тогда значения и можно найти, используя матричный способ следующим образом:
.
Вычислив значения и можно найти и следующим образом:
.
Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и .
Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или .
Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:
с точностью до 0,001.
Решение.
1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде:
Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области и .
За начальное приближение принимают и .
2) Находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
-0,1052 |
2 |
-8,76 |
49,32 |
-0,46 |
-0,3848 |
5 |
2,76 |
|
0,5742 |
0,0114 |
2,2968 |
-8,7306 |
51,2203 |
-0,4551 |
0,0052 |
5,1484 |
2,7306 |
|
0,5727 |
0,00006 |
2,2908 |
-8,7252 |
51,1375 |
-0,4542 |
-0,00011 |
5,1454 |
2,7252 |
|
0,5727 |
|
|
|
|
-0,4542 |
|
|
|
Поскольку , то .
Окончательный ответ: и .