7.4. Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с начальным условием .

Как и в методе Эйлера, выберем шаг и построим сетку с системой узлов .

Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке .

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

, ,

, ,

, .

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. , то оценка погрешности примет вид: .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение . Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: .

Приближенным решением будут значения .

Пример 4. Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке следующей задачи Коши .

Возьмем шаг . Тогда .

Расчетные формулы имеют вид:

, , ,

, , .

Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями .

Найденные приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице 9.

Таблица 9

0	1		0,6	1,43333
0,1	1,01005	10^-9	0,7	1,63232
0,2	1,04081		0,8	1,89648
0,3	1,09417		0,9	2,2479
0,4	1,17351		1	2,71827
0,5	1,28403

5. Решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

;	(2) ;

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решения в точках . Для этого разобьем отрезок на равных частей с шагом . Полагая и вводя обозначения , , для внутренних точек отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, , (3)

где

.

Полученная система имеет линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где – некоторые коэффициенты.

Отсюда . Подставляя это выражение в (3), получим и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

Поэтому

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения . Решая систему

,

получим

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы для упрощаются. Полагая получим .

Отсюда .

Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

Таблица 10

	0	1	2	3	4	5
	0	-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900
		0,001	0,002	0,004	0,008	0,012
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0	-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081
	0	-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057

	6	7	8	9	10
	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
	0,16	0,022	0,028	0,035
	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032	0
	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026	0