8.5. Выбор числового критерия оптимизации

В разделе 5 была сформулирована проблема, являющаяся предметом исследования и определен объект проектирования формализованной управляющей системы. Для оценки степени достижения цели, которая приводит к решению проблемы, как отмечалось ранее в п. 8.1, вводится критерий (критерии), представляющий собой желаемый тип выхода для достижения цели и, называемый поэтому целевой функцией. В любой из моделей определения параметров состояния системы, приведенных в п. 8.4, можно выделить критерий оптимизации, численное значение которо­го может служить оценкой степени достижения цели.

Так, в процессе управления запасами цель состоит в минимизации расходов на создание и содержание запаса. Поскольку в качестве пара­метра состояния у выбраны издержки L (см. п. 8.4), то числовой критерий оптимизации состоит в минимизации функции

L = +

в зависимости от единственной управляемой переменной q.

В процессах управления, связанных с распределением ресурсов, в ка­честве параметров состояния принимается величина прибыли, убытка, время выполнения работ, издержки материала, требуемые трудовые ре­сурсы и т.д., которые зависят от числовых значений распределяемых ве­личин x_ij. В зависимости от формулировки проблемы определяется цель и численный критерий ее достижения. Например, для условий прицеленных в п.8.4 при заданных объемах выпуска и мощностях можно поставить за­дачу максимизации прибыли за счет рационального использования вза­имозаменяемого оборудования. Тогда в качестве числового критерия оп­тимизации будет служить модель для определения состояния по прибыли

Z₁ = y₃ =

Или можно в качестве числового критерия оптимизации рассмотреть минимизацию общих затрат денежных ресурсов на изготовление изделий:

Z₂ =

или минимизацию затрат времени на изготовление заданного объема продукции:

z₃ =

Числовой критерий оптимизации в модели динамического програм­мирования и "дерева решений" реализуется на каждом этапе в соот­ветствии с поставленной целью управления. Он состоит в выборе опти­мального значения управляемой переменной (одного из параметров со­стояния на каждом этапе), доставляющего max (min) значения целевой функции (например, пути в сети), на каждом этапе.

8.6. Формулировка математической задачи оптимизации

Объединяя результаты предыдущих этапов построения математи­ческой модели, ее можно записать в виде математической задачи оптими­зации. Если известна целевая функция Z(x), то для записи задачи оптими­зации в общем виде используется символика:

Z(x) → min (max) = f_G

_{x € U,}

где U - допустимое множество, заданное ограничениями на управ­ляемые переменными.

Для управления запасами математическая задача оптимизации запи­шется как:

L = + → min

0 < q ≤ q_{max ,}

где q_max - есть предельно возможная, например, из-за грузоподъем­ности транспорта, денежных ресурсов или других причин партия постав­ки.

Для управления распределением в ситуации, приведенной в п. 8.4 и 8.5, можно рассмотреть несколько вариантов.

1. Оптимизация прибыли:

Z₁ = y₃ = → max

при

0 < y₁₁ ≤ M₁

0 < y₁₂ ≤ M₂

0 < y₁₃ ≤ M₃,

y₂₁ = П₁, y₂₂= П₂, y₂₃ = П₃, y₂₄ = П₄, y₂₅ = П₅

2. Минимизация денежных затрат

Z₂ = → min

при тех же ограничениях, что в п. 1.

3. Минимизация затрат времени:

z₃ = → min

при ограничениях

y₂₁ = П₁, y₂₂ = П₂, y₂₃ = П₃, y₂₄ = П₄, y₂₅ = П₅,

Z = y₃ = ≥ Z_min,

где Z_min - минимально допустимая величина прибыли.

Формулировка задачи оптимизации в моделях динамического про­граммирования (с закрепленными концами) состоит в определении на­чального и конечного состояний, этапов перехода, количественных ха­рактеристик состояния каждого этапа и формулировке критерия принятия решения на каждом этапе.