1.8. Примеры построения операционных моделей

Пример 1.8. Линейные модели

Транспортная задача

Предположим, что однородный продукт должен быть перевезен из т пунктов производства в п пунктов потребления, причем из каждого пункта производства вывозится установленное количество и в каждый пункт потребления ввозится также установленное количество продукта, так что общие спрос и предложение равны. Пусть из i -го пункта производства ( i =1, 2, ..., m ) вывозится a_i продукта, а в j -й пункт потребления должно быть ввезено b_j продукта, причем величины эти известны. Тогда:

, (1.50)

где для всех i  j .

Пусть x_{i j} – неизвестное количество продукта, которое должно быть перевезено из i-го пункта производства в j -й пункт потребления.

Тогда:

(1.51)

, (1.52)

где  0 для всех i и j .

Пусть стоимость перевозки из i -го пункта производства в j -й пункт потребления равна . Эти величины также заданы. Задача состоит в том, чтобы найти , удовлетворяющие приведенным выше ограничениям (1.51), (1.52) и минимизирующие

. (1.53)

Задача поставщика

Владелец кафе знает, что в связи с наступлением праздников в течение одной следующей недели ему в j -й день ( ) потребуется r_j чистых салфеток:

1	2	3	4	5	6	7
Понед.	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота	Воскр.
5	6	7	8	7	9	10

На стирку обычно требуется три дня, т.е. грязная салфетка отправленная в стирку в j -й день, вернется из стирки и может быть использована в (j+3)-ий день. Однако в прачечной существует ускоренное обслуживание по повышенному тарифу, при котором салфетки возвращаются из стирки через два дня. Не имея на руках или в прачечной готовых к употреблению салфеток, владелец будет вынужден покупать салфетки по 25 рублей за штуку.

Стоимость стирки – 10 и 15 рублей соответственно при обычном обслуживании и при ускоренном обслуживании. Как должен вести дело владелец кафе, чтобы удовлетворить потребность кафе в салфетках и минимизировать издержки за неделю?

Построим математическую модель. Пусть x _i , ( ) количество новых салфеток, купленных в соответствующий день недели, Аналогично, пусть y _i , z _i , ( ) – количество салфеток, отправленных в стирку по повышенному или по обычному тарифу. Наконец, пусть u _i , ( ) – количество грязных салфеток, не отправленных в стирку в соответствующий день.

Так как необходимо минимизировать общую сумму, требуемую для поддержания количества салфеток на должном уровне, не следует покупать салфеток больше, чем требуется в данный день, или отправлять салфетку в прачечную, если она не будет использована в дальнейшем.

В первый день, т.е. в понедельник, необходимо купить такое количество салфеток, какое требуется, т.е. x ₁ = 5.

В этот день можно выбирать: послать ли все или некоторые из пяти грязных салфеток в быструю, медленную прачечную или оставить их в ящике для грязных салфеток. То, что происходит с этими пятью салфетками можно представить уравнением:

y₁ + z₁ + u₁ = 5 . (1.54)

Общая стоимость всех операций первого дня:

25x₁ +15y₁ + 10z₁ (1.55)

Выпишем остальные ограничения данной модели, помня о том, что в нашей системе выстиранные салфетки возвращаются через 2 или 3 дня в зависимости от того, какой прачечной мы воспользовались.

Во вторник необходимо купить некоторое количество салфеток, а именно x₂ = 6. После того, как их используют, мы поступим с ними и u₁ грязными салфетками согласно уравнению:

y₂ + z₂ + u₂ = 6 + u₁ . (1.56)

Оно выражает тот факт, что у нас скопилось u₁ грязных салфеток, оставшихся с понедельника и еще 6, оставшихся со вторника. Можно их отправить в стирку (y₂ + z₂), либо оставить в ящике с грязными салфет-ками (u₂). Стоимость всех операций во вторник:

25x₂ + 15y₂ + 10z₂ . (1.57)

В среду нам потребуется 7салфеток. Это первый день, когда выстиранные салфетки из быстрой стирки можно употребить в дело. Поэтому нужные 7 салфеток можно получить, купив их или взяв их из того количества салфеток, которые были сданы в стирку в понедельник. Имеем:

x₃ + y₁ = 7 . (1.58)

Так же, как и ранее

y₃ + z₃ + u₃ = 7 + u₂ , (1.59)

а стоимость операции в среду равна:

25x₃ + 15y₃ + 10 z ₃ . (1.60)

Необходимые в четверг 8 салфеток могут быть либо новыми, либо выбранными из числа тех, которые мы посылали в быструю прачечную во вторник или в медленную прачечную в понедельник. Это можно записать как:

x₄ + y₂ + z₁ = 8 (1.61)

y₄ + z ₄ + u₄ = 8 + u₃ , (1.62)

а стоимость операций в четверг составит:

25x₄ + 15y₄ + 10z₄ .

Предположим, что нас интересует только одна неделя и, следовательно, мы не будем отдавать салфетки в стирку, если они не вернутся назад к воскресенью.

Для пятницы имеем:

x₅ + y₃ + z₂ = 7 . (1.63)

y₅ + u₅ = 7 + u₄ (1.64)

а стоимость равна:

25x₅ + 15y₅ . (1.65)

Для субботы:

x₆ + y₄ + z₃ = 9 (1.66)

u₆ = 9 + u₅ ,

а стоимость равна 25 x₆ .

Для воскресенья имеем:

x₇ + y₅ + z₄ = 10 (1.67)

u₇ = 10 + u₆ ,

а стоимость равна 25 x₇ .

Объединяя полученные выше уравнения, получаем математическую модель операции:

при условиях:

(1.68)

Пример 1.9. Нелинейные модели