3.2. Применение первого начала термодинамики к равновесным изопроцессам идеального газа

1. Работа газа при его расширении

Рис.3.3.

На рис.3.3 газ, заключённый в цилиндре под поршнем с площадью S ,совершает работу, перемещая поршень вверх на dx. Изменение объёма газа при этом dV=S dx считаем столь малым что изменением давления газа p можно пренебречь и можно считать его постоянным

р = const

Тогда элементарное количество работы, произведённой газом при его расширении:

потому что силу давления газа на поршень при таком его малом расширении F=pS можно считать постоянной.

Так как Sdx=dV, элементарное количество работы при изменении объёма газа на dV равно давлению газа, помноженному на элементарное изменение объёма dV:

(3.4)

При больших изменениях объёма работу можно вычислить по формуле:

(3.5)

где - начальный объём - конечный объёмы газа ,а давление p- функция объёма, вид которой определяется типом процесса перехода газа из первого состояния во второе.

На графиках, изображающих процесс в координатах p иV, работа газа равна площади под графиком. (рис.3.4)

Рис. 3.4. Нахождение работы газа при его расширении по площади под графиком зависимости его давления р от объема V

2. Теплоёмкость

Теплоёмкость тела численно равна количеству теплоты, которое нужно подвести к телу для его нагревания на единицу температуры.

(3.6)

Удельная теплоёмкость численно равна количеству теплоты, нужного для нагревания единицы массы тела на единицу температуры

C_уд = бQ /m dT (Дж/кг К) (3.7)

Молярная теплоёмкость вещества численно равна количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на единицу температуры

C_уд = бQ /(m/М) dT (Дж/моль К) (3.8)

Из 3.7 и 3.8 видно, что

Так как теплота - функционал процесса, то и теплоёмкость зависит от условий, при которых протекает процесс. Теплоёмкость данного вещества в разных процессах разная.

В дальнейшем будем оперировать только молярными теплоёмкостями и будем их обозначать строчной буквой c.

3. Изопроцессы в идеальных газах

Изопроцессы– процессы, протекающие при постоянстве какого-нибудь параметра.

Для простоты будем рассматривать один моль идеального газа. Для этого случая уравнение состояния идеального газа - уравнение Клапейрона- Менделеева

примет вид:

так как

(Здесь и дальше V- объём одного моля газа при температуре T и давлении p).

А. Изохорный процесс- при котором объём постоянен:

(рис.3.5)

Рис.3.5 Изохорный процесс

Так как V=const, dV=0,то, согласно 3.4 и 3.5, газ при этом процессе работы не совершает

и вся теплота, подводимая к газу, идёт на увеличение его внутренней энергии

(3.9)

Молярная теплоёмкость при постоянном объёме:

(3.10)

Отсюда элементарное изменение внутренней энергии:

(3.11)

Изменение внутренней энергии:

(3.12)

а количество теплоты

Согласно молекулярной физике внутренняя энергия одного моля идеального газа U определяется температурой T и числом степеней свободы молекулы i:

и поэтому молярная теплоёмкость при постоянном объёме идеального газа:

(3.13)

Б.Изобарный процесс -при постоянном давлении (рис.3.6):

Рис.3.6 Изобарный процесс

В этом случае элементарное количество работы

Количество работы

Поэтому первое начало термодинамики записывается для этого случая так:

и , подставив сюда выражение для , запишем

(3.14)

Так как согласно (3.11),dU= ,

(3.15)

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для одного моля

pV=RT

Продифференцировав обе части этого равенства при p=const, получим:

pdV=RdT

И тогда первое начало термодинамики для идеальных газов при постоянном давлении запишется так:

А молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении будет

Это уравнение

(3.16)

носит название уравнения Майера. Оно получило блестящее подтверждение опытными данными ,что в своё время сыграло большую роль в утверждении первого начала термодинамики.

Теплоёмкость при изобарическом нагревании газа больше его теплоёмкости при постоянном объёме, потому что при постоянном давлении газ расширяется, и теплота идёт не только на увеличение внутренней энергии газа, но и ещё на совершение работы против сил внешнего давления.

Согласно 3.13 и 3.16

(3.17)

а отношения теплоёмкостей и

(3.18)

В.Изотермический процесс - процесс при постоянной температуре:

T=const,dT=0 (рис. 3.7)

Рис 3.7 Изотермический процесс 1- T ₁ , 2- T₂ T₁ .

Внутренняя энергия идеального газа при постоянной температуре не меняется

, U=const

И вся теплота идёт на совершение работы:

Q=A=

Учитывая, что для одного моля идеального газа

,

(3.19)

При расширении газа:

,

Газ совершает работу и для сохранения постоянной температуры и, следовательно, внутренней энергии к нему надо подводить энергию извне в процессе теплопередачи.

При сжатии газа работа совершается над газом и полученную при этом энергию он отдаёт назад в окружающую среду в процессе теплопередачи.

Теплоёмкость при изотермическом процессе

При расширении газа (dT )

При сжатии газа ( )

Г. Адиабатический процесс - когда отсутствует теплообмен системы с окружающей средой:

Следовательно, теплоёмкость при адиабатическом процессе

Равновесный адиабатический процесс тоже относится к изопроцессам и вот почему.

Согласно второму началу термодинамики, элементарное изменение функции состояния - энтропии при равновесных процессах равно элементарному количеству теплоты, обмененному системой с окружающей средой, делённой на температуру системы.

Так как в равновесных адиабатических процессах система не обменивается теплотой с окружающей средой, , также и dS=0 , а S=const

Таким образом, равновесный адиабатический процесс протекает при неизменной энтропии, это изоэнтропийный процесс.

Первое начало термодинамики для этого изопроцесса записывается так:

Или

Вся работа совершается системой только за счёт расхода её внутренней энергии.

Первое начало для идеального газа в дифференциальном виде для этого случая имеет вид:

так как и ,

Откуда для элементарного изменения температуры получим:

(3.20)

При адиабатическом расширении газа, когда , газ охлаждается Это применяется, например, для получения низких температур.

При адиабатическом сжатии, когда , газ нагревается .

Это используется, в частности, в двигателях Дизеля, где в длинном толстостенном цилиндре рабочей камеры двигателя сильно сжимается воздух. Так как это происходит быстро, газ не успевает отдать энергию в окружающую среду в процессе теплообмена и нагревается до высокой температуры. Затем в раскалённый воздух впрыскивается топливо, возгорающееся от соприкосновения с горячим воздухом. Освобождённая при химической реакции внутренняя энергия топлива резко повышает температуру и давление в рабочей камере и толкает поршень - совершается рабочий ход.

А теперь, проведя ряд несложных математических преобразований, выведем уравнение адиабаты - связывающее параметры p и V идеального газа при равновесном адиабатическом процессе.

Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева для одного моля идеального газа:

RT= pV

Продифференцируем обе части уравнения:

RdT = pdV + Vdp

Откуда:

(3.21)

Приравняв правые части уравнений 3.20и 3.21, получим:

или

и

Так как согласно уравнению Майера

получим

где

Продолжим математические преобразования. Разделив переменные в полученном дифференциальном уравнении, запишем

А теперь обе части уравнения проинтегрируем в пределах: от параметров начального состояния

до параметров конечного состояния

Получаем

-

и отсюда

После потенцирования:

или

И наконец

Или (в силу произвольно выбора состояний 1 и 2)

(3.22)

и

(3.23)

Давление при адиабатическом расширении уменьшается, а при сжатии увеличивается быстрее, чем при изотермических условиях, так как газ при адиабатическом расширении охлаждается, а при сжатии нагревается, что приводит к большему, нежели при изотермических процессах изменению давления. Адиабата идёт круче, чем изотерма (см. рис.3.8)

Рис. 3.8, Изотерма – 1 и адиабата – 2.

Показатель адиабаты определяется числом степеней свободы молекулы

(3.24)

Определяя экспериментально показатель адиабаты и число степеней свободы молекулы, можно установить к каким газам: одноатомным, двухатомным, или многоатомным относится исследуемый образец - один из методов качественного химического анализа.