Глава 1. Механические колебания

1.1. КОЛЕБАНИЯ ЧАСТОТА. ПЕРИОД

Колебания - это изменения состояния системы, когда параметр системы отклоняется от некоторого среднего значения то в одну, то в другую сторону.

Повторяющиеся колебания - такие, когда параметр системы проходит и при своём изменении через одни и те же значения.

Периодические колебания - повторяющиеся через равные промежутки времени . Период колебания Т (с ) - время, через которое повторяются колебания..

Частота колебаний n - число колебаний за единицу времени.

Частота и период связаны между собой соотношением

,

Частота измеряется в герцах. Герц (Гц) - частота такого колебания, когда за одну секунду совершается одно колебание.: Гц = 1/с.

Единица измерения частоты названа так в честь известного немецкого учёного Генриха Герца. "Герц", правильно "хэрц" в переводе с немецкого означает "сердце". По игре случая частота в 1Гц - это нижняя граница частоты колебаний сердечной мышцы человека в норме. В норме частота сердечных колебаний лежит в пределах от 60 до 80 колебаний (ударов ) в минуту, то есть (1- !,3 ) Гц. Если частота ниже этих пределов - это уже патология - брадикардия, если выше - тахикардия. Также свидетельством патологии - аритмии является, когда колебания сердечной мышцы становятся непериодическими.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых параметр системы зависит от времени по закону синуса или косинуса.

Механические колебания - отклонения колеблющегося тела от положения равновесия то в одну, то в другую сторону.

1.2. Свободные незатухающие механические колебания

Свободные колебания (происходящие только под действием внутренних сил колебательной системы) всегда затухающие, потому что во всех реальных случаях действуют силы трения, сопротивления Свободные незатухающие колебания - идеальное приближение, когда можно пренебречь силами трения и сопротивления в силу их малости.

На рисунке 1. 1 просверленный шарик насажен на хорошо отшлифованный смазанный стержень, так, чтобы сила трения при скольжении шарика по стержню была минимальна и ею можно было бы пренебречь. Стержень зажат между двумя стенками и шарик соединён с одной из стенок пружиной. Это, так называемый, пружинный маятник. 0 - положение равновесия.

Рис.1.1.Пружинный маятник.

При смещении шарика от положения равновесия s на него начинает действовать сила упругости пружины, которая согласно закону Гука связана со смещением s - деформацией пружины

(1.1)

Где k - жёсткость пружины.

Если шарик сместить от положения равновесия вправо s > 0 , сила упругости F_y < 0 ,то есть направлена влево, Шарик под действием этой силы начинает двигаться влево с ускорением, набрав наибольшую скорость у положения равновесия. Здесь сила упругости F_y= 0 , но шарик будет продолжать двигаться по инерции, смещаясь от положения равновесия влево s < 0.Теперь на него действует сила упругости F_y > 0 ,направленная вправо. Сила упругости теперь будет тормозить движение тела и наконец остановит его. А потом процесс повторится в обратном направлении. Так и возникнет колебание тела около положения равновесия.

Согласно II закону Ньютона :

где m - масса колеблющегося тела. Воспользовавшись (1.1) , можно написать:

(1.2)

Скорость тела , ускорение

Поэтому

Это дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний. Перенеся все его члены в левую часть и разделив обе части на массу m, получим:

Обозначим и тогда дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний примет вид

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В высшей математике показывается, что решение его:

( 1.3)

То есть свободное незатухающее колебание происходит по гармоническому закону.

В формуле 1.3 А = s _max - амплитуда колебаний - максимальное смещение колеблющегося тела от положения равновесия.

ω₀ - собственная круговая, или угловая частота, свободных незатухающих колебаний. Круговая частота связана с частотой ν₀ ( её в отличие от круговой ещё называют линейной частотой) соотношением: ω₀ = 2π𝜈₀ единицы измерения (Радиан -величина безразмерная , так как величина угла в радианном измерении равна отношению длины дуги стягивающей угол к радиусу дуги,). Таким образом, линейной частоте ν₀ = 1 Гц соответствует круговая частота

.

- фаза колебания - параметр, определяющий состояние колеблющегося тела в данный момент времени.

- начальная фаза колебаний, фаза колебаний в начальный момент времени t=0

Если = 0, то при t=0 - колеблющееся тело находится в положении равновесия s=0 и движется в положительном направлении - направо. Если , то в момент тело в крайнем правом положении . Если то при и тело движется в отрицательном направлении - налево.

На рисунке 1.2 представлены графики временных зависимостей смещения от положения равновесия колеблющегося тела для = 0 - кривая 1, для - кривая 2 и для - кривая 3.

Рис. 1.2 Графики зависимостей смещения от времен для различных значений начальной фазы. ( Объяснения в тесте).