29. Достаточные условия зависимости функций.

Теорема 15. Пусть все миноры s + 1 порядка матрицы Якоби (10.35) системы функций

y_i = f_i(x), x € G, i = 1, m.(10.33) равны 0 в каждой точке открытого множества G и хотя бы один из миноров порядка s (s < m <= n) не равен 0 в некоторой точке a €G, тогда функции, содержащиеся в этом миноре независимы на множестве G, и существует некоторая окрестность точки a такая, что остальные m—s функций системы (10.33) зависят на этой окрестности от s указанных функций.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что неравный нулю в точке a минор s-го порядка расположен в левом верхнем углу матрицы (10.35). Следовательно (10.36) в точке a. В силу теоремы о неявной функции и условия (10.36) из первых уравнений системы (10.33) найдем

x₁= ₁( ) x_s= _s( ),

где i = 1, s непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности U точки (b₁,... ,b_s, a_s+1,..., a_n), Ь_i = f_i(a), i = 1, s. Подставим x_i, i = 1, s в последние m — s уравнений (10.33). Поскольку имеет место условие (10.36), то из следствия 2 следует, что функции y_i = f_i(x), i = 1, s независимы на множестве G. Покажем, что остальные m — s функций системы (10.33) зависят от указанных s функций в окрестности U. Для этого достаточно убедиться в том, что непрерывно дифференцируемые функции F_l (l > s) не зависят от переменных x_s+1,..., x_n. Следовательно В итоге = 0, k=s+1,n

30. Понятие условного экстремума. Пусть на множестве заданы m+1 ф-ции и пусть есть подмножество мн-ва X,на котором последние точки ф-ции обращаются в ноль;уравнения - называются уравнениями связи.

Опред1.точка называется точкой условного или относительного экстремума ф-ции при выполнении условий связи (1),если она является точкой обычного экстремума ф-ции на множестве .Пусть ф-ции непрерывно диффириенцируемы в окрестности точки ,а градиенты линейно независимы в точке или ранг матрицы Якоби (2) равен m,где ,что равносильно существованию в ней минора порядка m неравного нулю.Для определенности возьмем и ,тогда по теореме о неявных ф-циях система(1) в некоторой точке равносильно заданию m-функций

(3) ,в некот. окрестности т. определим ф-цию ,где ,как результат подстановки выражения (3) в функцию . Функция определена в нек. окрестности т. , при этом какова бы ни была т. из этой окрестности, точка удовлетв. уравн. (1)

Введу равносильности условий (1) и (3) т.x⁽⁰⁾ явл. точкой условного экстремума для ф-ции ,при выполнении условия связи тогда и толька тогда,когда точка явл.точкой обычного экстремума для ф-ции .

Трудность данного метода состоит в том, что решение системы уравнений(1) в большинстве случаев не выражается через элементарную функцию.

31. Метод множителей Лагранжа.

Теорема1.Пусть ф-ции непрерывно дифириенцируемы в окрестности точки ,если точка явл. точкой условного экстремума ф-ции относительно уравнения связи (1),то в этой точке градиенты линейно зависимы, т.е. существуют такие числа одновременно неравные нулю, что .

Следствие:если в точке условного экстремума

относительно связи (1) градиенты независимы,то сущ. такие числа ,что или в координатной форме .Ф-ция ,называется ф-цией Лагранжа,а коофициенты , называются множителями Лагранжа.Условие (3) означает,что точка явл. критической точкой для ф-ций Лагранжа;т.о. это условие явл. необходимым условием чтобы эта точка была точкой указанного экстремума. Замечание:сущ. ли в точке удовлетворяющей ур. связи(1) и ур. (3) условный экстремум,можно выяснить исследовав второй дифириенциал ф-ции в точке ,если он при выполнении соотношений между дифиринциалами , вытекающими из уравн. связи (1) является положительно(отрицательно) определенной квадратичной формы, то т. явл. точкой условного максимума(минимума).