36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.

Теорема4 (пр-к Д`Аламбера) Пусть для ряда , где Un>0 сущ. =ℓ, тогда если ℓ<1, то ряд сходится; ℓ>1 − расх.

Док-во: Пусть ℓ<1. Выберем ℓ<g<1. Тогда сущ n0 >1, где для ¥ n>n0 а значит Un<gUn-1 . Применяя это нерав-во для n=n0+1 n=n0+2 ... получим, что , но ряд в силу условия 0<g<1 сх. Поэтому согласно пр-ку сравнения сходится и исходн. Ряд.

Если ℓ>1 То сущ n0, где для ¥ n>n0 а значит Un>Un-1 . Применяя это нерав-во для n=n0+1 n=n0+2 ... получим, что

Un +1 >Un >...>Un 0+1>Un0>0 Поэтому посл-ть исходного ряда не стремится к 0 и по необходимому пр-ку ряд не сход.

Следствие 2 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть u_n > 0, n =1, 2,... и

Тогда

1. если l < 1, то ряд (1.1, u_n) сходится;

2. если l> 1, то ряд (1.1) расходится.

Теорема (Признак Коши): Пусть имеется ряд , где u_n >=0, n=1,2,…Тогда, 1)если то ряд 1.1 сходится 2) если >=1, то ряд 1.1.расходится.

Теорема5 (радикальный пр-к Коши) Пусть для , где Un≥0 сущ , если ℓ<1, то ряд сходится; ℓ>1 − расх.

Теорема 6(Признак Раабе):Если сущ. предел

то ряд сходится при ℓ >1 и расхрдится при ℓ<1.

37. Интегральный признак сходимости ряда.

Теорема 10. Если функция f : [1;+ ) неотрицательна и убывает на этом промежутке, то ряд (2.14) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2.15)

Доказательство:

Поскольку функция f убывает на промежутке [1; + ), то f (к + 1) < =f (x) < =f (к), к =1, 2,...,x € [к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x € [к, к +1] получим

(2.18)

Просуммировав это неравенство от к = 1 до n, будем иметь

(2.19)

где Sn - частичная сумма ряда (2.14). Пусть ряд (2.14) сходится и имеет сумму S. Тогда S_n<=S т.к.последовательность {Sn} не убывает. Для любого € [1;+oo) найдется такое n, что n>= , поэтому из (2.18) и (2.19) имеем, что . Последнее означает, что несобственный интеграл (2.15) сходится. Пусть несобственный интеграл (2.15) сходится. Тогда и, в силу (2.18) имеем, что

Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (2.14) ограничена сверху, т.е. ряд (2.14) сходится

38. Знакочередующиеся ряды.

Теорема Лейбница: Если посл. убывает и стремится к 0, т.е. , , (1) то ряд (2) сходится, причём если сумма ряда, n-ая частичная сумма ряда, то при выполняется неравенство .

Доказательство: Прежде всего, отметим, что из условия (1) в силу чего члены ряда (2) поочерёдно то >0, то <0. Ряды такого вида наз. знакочередующимися. Частичные суммы ряда (2) с чётными номерами возрастают (частичные суммы с чётными номерами возрастают)

Кроме того посл-ть ограничена сверху

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

Покажем, что тот же предел имеет посл-ть частичных сумм с нечётными номерами , а тогда поэтому посл-ть всех частных сумм ряда (2) имеет конечный предел, при этом поскольку посл-ть возрастает то , посл-ть убывает, т.к. , поэтому .

Таким образом отсюда получаем

и а это означает