5. Неравенство Коши.

Лемма 1: Для любых действительных чисел а_i и b_i i=1,…,n выполняется неравенство:

Следствие 1: .

6. Метрическое пространство .

Обозначим через Rⁿ множество всех упорядоченных наборов (x₁, Х₂,..., x_n), x_k € R, k = 1,…, п. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой x = (x₁, Х₂,..., x_n) и называть точкой множества Rⁿ. Число x_k, k=1,…,п называется k-той координатой точки x = (x₁, Х₂,..., x_n).

Определение 1. Множество X называется метрическим пространством, если существует функция р : X × X → R, удовлетворяющая следующим условиям:

1) p(x,y)>= 0, причем p(x,y) =0 ↔ x = y;

2) p(x,y) = p(y,x);

3) p(x,z) <=p(x,y)+p(y,z) (неравенство треугольникa), где x,y,z произвольные элементы множества X.

Число p(x,y) называется расстоянием между точками x и y или метрикой пространства X. На множестве Rⁿ опре­делим расстояние между его двумя точками x = (x₁, Х₂,..., x_n) и y = (y₁, y₂,... ,y_n) по формуле .(1)

Функция p : Rⁿ × Rⁿ → R, определяемая формулой (1), очевидно удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 1. Покажем, что она удовлетворяет и условию 3). Действительно, полагая в a_i = x_i — y_i, b_i = y_i — z_i, получим условие 3) определения 1.

Таким образом, если на множестве Rⁿ ввести расстояние по формуле (1), то оно превратится в метрическое про­странство Rⁿ.

Непосредственно из (1 ) следуют двойные неравенства

|x_i — y_i| < =p(x,y) <= max |x_k — y_k|, i = 1,…,n.(1<=k<=n).

7.Евклидово пространство .

как векторное пространство.

Если в Rⁿ ввести операции сложения двух элементов x = (x₁ , x₂, . . . , x_n), y = (y₁ , y₂, . . . , y_n) и умножения элемента x = (x₁ , x₂, . . .,x_n)на действительное число A соответственно по формулам:

x + y = (x₁ + y₁,X₂ + y₂,...,x_n+ y_n),

Ax = (Ax₁ ,Ax₂, . . . ,A x_n),

то Rⁿ станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел.

Векторы e_k = (0,..., 0,1, 0,..., 0), k = 1,n (1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rⁿ. Любой вектор x € Rⁿ можно разложить по базисным векторам e_k, k =1,n в виде

x = x₁e₁ + x₂e₂ + .. . + e_nx_n.

Норма в .

Опр1: Пусть Определение 1. Пусть X — векторное пространство. Функция || • || : X → R, удовлетворяющая условиям

1. \\x\\ > 0, причем \\x\\ =0 ↔ x = 0,

2. \\Ax\\ = \A\.\\x\\,

3. \\x + y\\ <= \\x\\ + \\y\\ (неравенство треугольника),

x,y € X, A € R, называется нормой в X. Число \\x\\ — норма вектора x.Векторное пространство X с введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rⁿ определим норму по формуле ||x||= , где x = (x₁, x₂,..., x_n)€ . ||x-y||=p(x,y), ||x||=p(x, 0), где p(x,y) расстояние между векторами x,y, которые рассматриваются как точки метрического пространства .

Евклидова структура в . Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция φ: X × X → R, φ(x, y) = (x,y), x,y €X и удовлетворяющая условиям:

1. (x, x)>=0, (x,x) = 0 ↔ x = 0,

2. (x, y) = (y, x),

3. (ax,y) = a(x,y),

4. (x + y,z) = (x, z) + (y, z), x, y,z € X, a € R.

В векторном пространстве Rⁿ скалярное произведение векторов x = (x₁ , x₂, . . . , x_n), y = (y₁ , y₂, . . . , y_n) находится по формуле

(x, y) = x₁ y₁ + . . . + x_ny_n..

Векторное пространство Rⁿ с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым простран­ством.

Число = называется длинной (модулем) вектора x = (x₁ , x₂, . . . , x_n) € Rⁿ и обозначается |x|: |x| = Из вышесказанного имеем, что |x|= ||x||. И следует, что p(x,y) = ||x – y|| = |x – y|.

В дальнейшем, на Rⁿ будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место p(x,y) = ||x – y|| = |x – y|.