- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
8. Последовательности точек пространства .
-расст. м/д x и y. Опр1.Пусть х€Rn , ε>0. Совокупность всех таких точек у€Rn , что ρ(х,у)< ε наз. n-мерным открытым шаром, радиуса ε, с центром в точке х или ε -окрестностью(сферической или шаровой) в т. х пр-ва Rn и обознач-ся U(x, ε).
Опр2. Мн-во P(x,δ1,…, δn )={y=( y1 , y2 ,…, yn): |xi –yi |<δi i=1,2,…n} наз. прямоугольной окр-стью т.х.
В частности, если δ1 =δ2 =…=δn =δ , то мн-во Р(х, δ)=def= P(x,δ,…, δ ) наз. кубической окрестностью т.х.
Очевидно, что если δ0 =min (δ1,…, δn ), a δ =max (δ1,…, δn ), то P(x,δ0) P(x,δ1,…, δn ) P(x,δ).
Лемма. Любая сферич. окр-сть т-ки пр-ва Rn содержит прямоуг. окр-сть и содержится в прямоуг. окр-сти этой точки.И наоборот, любая прямоуг. окр-сть т-ки содержит сферич. окр-сть и содержится в сферич.
Если из некот. членов посл-ти { x(n)} сост. новая посл-ть {x(mk) },в кот. порядок следования её членов совпадает с порядком след-ния их в исх. посл-ти, то посл-ть {x(mk) } наз. подпоследовательностью п-сти {x(n)}.
Опр3. х€Rn наз. пределом посл-ти x(m) €Rn , если . В этом случае пишут : и говорят, что посл-ть {x(m)} сходится в т. х. Посл-ть, которая сходится к нек-ой т-ке наз. сходящ-ся.
Теорема1. Для того чтобы посл-ть x(m) = (x1(m) , x2(m) ,…, xn(m) ) имела своим пределом т.х=(x1 , x2 ,…, xn ) необх. и дост. чтобы limm→∞ xi(m) = xi , i=1,2…n.
Док-во: Это утвержд. сразу след. из нер-ва
Из т1 след., что если послед имеет предел, то он единственный.
Всякая подпосл. сход-ся к тому же пределу, что и исх. послед.
Опр4. Послед. {x(m)}, x(m) €R называется фундамент-ой, если ε>0 m0€N такой, что m>m0 и p€N выполн. . Следов, чтобы послед. была сход., необх. и дост. чтобы она была фундамент.(Критерий Коши)
Опр5. Мн-во в n-мерном пр-ве наз. ограниченным, если оно сод-ся в некотором n-мерном кубе.
Опр6. Послед. точек пр-ва Rn назыв. огран., если мн-во их значений ограничено.
Теорема2. Из любой огран. посл-ти точек n-мерного пр-ва можно выделить сход-ся подпосл-ти.
Опр7. ε-окр-стью бескон. удалённой т-ки, т.е. U(∞, ε), наз. мн-во сост. из всех таких точек х, что ρ(х,0)> 1/ ε и беск. удал. т-ки.
Опр8. Посл-ть {x(m)} наз. посл-стью стремящейся к ∞, если limm→∞ ρ(x(m) ,0)=+∞.
9. Предел отображения.
Будем рассматривать отображение f : X — Rm, где X € Rn. Возможны случаи: Если m = п =1, то f — функция одной переменной; Если m = 1,п > 1, то f — функция многих переменных; Если m > 1 , п = 1 , то f — вектор функция;
Если m > 1 , п > 1 , то f — отображение
Запись y = f (x) — подразумевает, x = (x1 , x2, . . . , xn), y = (y1 , y2, . . . , ym), f = (f1 , f2, . . . , fm). Отметим, что функции yi = fi(x), i = 1,m от п переменных называют координатными функциями отображения f. Расстояния в метрических пространствах Rn и Rm, будем обозначать соответственно: pn(x, a) = pm(y,b) =
где x, a €Rn, y, b €Rm.
Отображение f : X — Rm, где X € Rn называется ограниченным на X, если f (X) € Rm ограниченно в Rm. Пусть f : X — Rm, где X € Rn, a — предельная точка множества X.
Определение 1. Точка b €Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любого x € X и 0 < pn(x,a) < следует, что pm (f (x), b| < . При этом пишут lim f (x) = b.(x→a).
Определение 2. Точка b € Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a) такая, что если x €V(a) ∩X, то f (x) €U(b).
Определение 3. Точка b G Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой последовательности x(k) € X\{a}, k = 1, 2,... сходящейся к точке a, последовательность {f (x(k))} сходится к точке b.
Эквивалентность определений 1 и 2 доказывается аналогично случаю функции одной переменной.
Теорема 3. Точка b = (b1, .. ., bm) является пределом отображения f : X — Rm, X € Rn при x → a тогда и только тогда, когда lim fi(x) = bi, i = 1,m.(x—>a)
Теорема 4. Отображение f : X →Rm, X С Rn имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда
> 0 V(a) : х', x" € V(a)→ pm (f(x1), f (x")) < .
Теорема 5. Если отображение f : X — Rm, где X € Rn имеет предел в точке a, то:
предел единственный;
отображение f ограниченно в некоторой проколотой окрестности V(a) точки a в множестве X.
Теорема 6. Пусть f : X → Rm, g : X → Rm, где X € Rn, и существуют пределы lim f (x) = b(x→a), lim g(x) = c(x→a). Тогда существуют пределы:
1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c; (x→a)
2) lim f(x) . g(x) = b . c, (x→a)
где f ± g, b ± c — есть сумма и разность векторов; f • g, b • c — скалярное произведение векторов.
Теорема 7. Пусть f : X — R, g : X — R, X € Rn, и существуют пределы lim f(x) = A(x→a), lim g(x) = B. (x→a) Тогда существуют пределы:
1) lim( f (x) ± g(x)) = A ± B,
x— a
2) lim f(x)g(x) = A • B,
x— a
3) если g(x) ≠ 0, x € V(a) и B ≠ 0, то .
Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений f и g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± g и f • g.
Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.