18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.

19.Производная по направлению. Градиент.

Пусть ф-ция f(x,y,z) определена в окрестности точки (x₀,y₀,z₀) и пусть задан . Обозначим через его направляющие косинусы , т.е определим координаты единичного вектора

Проведем через точку (x₀,y₀,z₀) луч в направлении вектора l и запишем его уравнение в параметрическом виде

Т.к. получаем что t=расстоянию от точки (x,y,z) луча соответсвт. этому значению параметра до точки (x₀,y₀,z₀)

Рассмотрим композицию ф-ции f(x,y,z) и (1), т.е. f( , , ) (2)

Правая производная в точке t=0 называется производной f в точке (x₀,y₀,z₀) по направлению вектора l и обозначают таким образом

Если M₀(x₀,y₀,z₀) а точка M(x,y,z) является точкой луча (1), а следовательно длина вектора ,то

Т.к. все величины стоящие в правой части этого равенства не зависят от выбора системы координат, то производная по направлению в точке M₀ от ф-ции f, аргументом которой является точка пространства, не зависит от выбора системы координат. Т.к. ф-ции (1) линейны относительно t, а поэтому дифф-мы то если дифф-ма в точке (x₀,y₀,z₀), то сложная ф-ция (2) дифф-ма в точке t=0,

В этой формуле значения частных производных взяты в точке (x₀,y₀,z₀)

( ) – вектор называется градиентом ф-ции f и обозначается grad f либо nabla( ) т.е.

Тогда формула для производной по направлению можно записать в виде φ-угол между и вектором l₀

Градиент ф-ции не зависит от выбора системы координат если ,то направление является единственным направлением по которому в данной точке производ. по направлению имеет наибольшее значение

Если =0 то в данной точке произв. ф-ции по всем направлениям равно 0

Понятие производной по направлению существует для ф-ции любого числа переменных

20. Частные производные высших порядков.

Пусть функция f : X→ , X С ⁿ имеет частную производную = в области X. Если существует частная производная , то она называется второй частной производной или частной производной второго порядка функции f по переменным x_i, x_k и обозначается или Частная производная по некоторой переменной от частной производной (т — 1)-го порядка называется частной производной порядка m. Частная производная по различным переменным называется смешанной частной производной. Частная производная высшего порядка по одной и той же переменной называется чистой частной производной.

Теорема 7. Пусть функция f : V(a, δ) → , V(a, δ) С ⁿ имеет в окрестности V(a, δ) точки a частные производные причем они непрерывны в точке a. Тогда справедливо равенство .

Утверждение 3. Если f : X → , X С ⁿ имеет в области X непрерывные частные производные до порядка к включительно, то частная производная функции f к-го порядка не зависит от порядка дифференцирования.

21. Инвариантность формы первого дифференциала. (Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Касательная плоскость.)

Рассмотрим случай диф-ти композиции ф-ции 2-х переменных и ф-ции 1-ой переменной

Теорема 1. Если x=x(t) и y=y(t) дифф-мы в точке t_0, a z=f(x,y) дифф-ма в точке (x₀,y₀), где , то сложная ф-ция дифф. в точке t₀ и в этой точке

Док-во. В силу дифф-ти f(x,y) в точке (x₀,y₀) имеем , где и частные производные берутся от точки (x₀,y₀)

Выберем теперь ∆x, ∆y специальным образом задавая произвольно ∆t положим

В силу непрерывности ф-ции получаем . Поэтому =>

согласно теореме о пределе композиции ф-ции

Поделим обе части равенства на ∆t Тогда в силу существования в точке в конечных производных :

, выражения, стоящие в правой части равенства будет иметь конечный lim.

т.е. будет существовать производная и для нее будет справедлива формула (1)

Замечание 1. Если x=x(u,v), y=y(u,v) дифф-мы в точке (u₀,v₀) то они имеют частное производные в этой точке. a ф-ция z=f(x,y) диф-ма (х₀,y₀) в где x₀=x(u₀,v₀), а y₀=y(u₀,v₀), то в точке (u₀,v₀) сущестуют и частные производные сложной функции z=f(x(u,v), y(u,v)) причем

(2)

Формула (2) следует из формулы (1), т.к. зафиксировав одну из переменных v или u, получим что z=f(x(u,v), y(u,v)) будет ф-цией 1ого переменного и к ней применима теорема.

Замечание 2.

Формулы (2) обобщ. на случай любого числа переменных. Если y=y(x) где x=(x₁,x₂,…,x_n) дифф-ма в точке x⁽⁰⁾= (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) а ф-ция xi=x_i(t) где t=(t₁,t₂,…,t_m) дифф. в точке t⁽⁰⁾= (t₁⁽⁰⁾,t₂⁽⁰⁾,…,t_n⁽⁰⁾) и x_i⁽⁰⁾=x_i(t⁽⁰⁾)то сложная ф-ция y(x(t)) имеет в точке t⁽⁰⁾ частн. произв. и (3)

где j=1,2,…,m

Теорема 1. Если x_i=x_i(t), t= (t₁,t₂,…,t_m) имеет в точке t⁽⁰⁾= (t₁⁽⁰⁾,t₂⁽⁰⁾,…,t_m⁽⁰⁾) непрерывные частные производные, a ф-ция y=f(x), x= (x₁,x₂,…,x_n) имеет непрерывную частную производную в точке x⁽⁰⁾= (x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), где x_i⁽⁰⁾=x_i(t⁽⁰⁾) имеет непрерывную частную производную, то сложная ф-ция y=f(x(t)) дифф. в точке t⁽⁰⁾ и

Св-ва дифф-a выраженные формулой (1) наз. инвариантностью формы дифф-а, т.е. дифф-л записыв. одинаковым образом независимо от того, использованы ли в его записи дифф-ы зависимых и независимых переменных.