32. Достаточный признак условного экстремума.

Теорема 16. Пусть точка a удовлетворяет уравнениям связи (11.41) и является стационарной точкой для функции Лагранжа. Если второй дифференциал d²L(a) функции Лагранжа в точке a является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁,…,dx_n,

при условии, что они удовлетворяют системе dF_i = 0,

i = 1,m в точке a, то a будет точкой строгого условного минимума (максимума) для функции f относительно урав­нений связи (11.41). Если же эта квадратичная форма не определена, то a не является точкой условного экстремума для f.

(11.41) F_i(x)=0.i=1,m

33. Абсолютный экстремум.

Пусть функция f : K — , K € ⁿ определена и непрерывна на компакте K. Тогда на этом компакте она принимает наименьшее и наибольшее значения, которые называются соответственно абсолютным минимумом и абсолютным мак­симумом функции f на множестве K. Эти значения могут достигаться функцией f во внутренних точках множества K, которые являются точками локального экстремума или на границе этого множества. В последнем случае имеем задачу нахождения точек условного экстремума функции f относительно уравнений связи, которые являются уравнениями границы множества K.

34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.

Опр.1 Пусть дана посл-ть комплексных чисел u1,u2,...un составим новую посл-ть чисел {s_n} след. образом :

S1=u1; S2=u1+u2; ... Sn= u1+u2+...+un ; ...

Пара посл-тей {Un} и {Sn} наз числовым рядом и обознач через u1+u2+...+un или (1) Эл-ты посл-ти наз членами ряда (1), Эл-ты посл-ти Sn наз частичными суммами этого ряда. Само Un – n-ый (общий) член ряда.

Опр2 Если посл-ть частичных сумм ряда (1) сходится, т.е. если сущ , то ряд (1) наз сходящимся, а число S наз суммой данного ряда. В этом случае

Если же посл-ть {Sn} расх., то ряд (1) наз. расходящимся.

Св-ва расх последовательностей:

1) Теорема1 (необх. условие сходимости ряда)

Если ряд сходится, то посл-ть его членов стремится к 0. Док-во Если ряд (1) сходится, т.е. если сущ конечн предел, то Un=Sn-Sn-1 из этого рав-ва следует что

2) Теорема2 Если ряды и сходятся и их суммы =S’ и S’’, то для любых также сходится, а его сумма

Опр3 Для ряда (1) наз n-ным остатком ряда (1). Если он сходится то его сумма (2)

3) Теорема3 Если ряд сход, то и любой его остаток сход.

Если какой-то остаток ряда сходится, то сам ряд расх, причём если и , , то при любых n S=S_n+r_n

4) Теорема4 (Критерий Коши cходимости ряда)

Для того, чтобы ряд(1) сходился необх и достат, чтобы и имело бы место нерав-во: |un +un+1 +...+un+p | < ε ;

Док-во: Это утверждение сразу следует из критерия Коши существования конечного предела посл-ти, применённого к посл-ти частичных сумм данного ряда.

35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.

Лемма Если члены ряда не отриц.,то он сходится тогда и только тогда, когда его частичная сумма ограничена сверху.

Доказательство. Поскольку U_n .>= 0, n = 1, 2,..., то последовательность {S_n} частичных сумм ряда (1.1) является неубывающей. Согласно теореме о пределе монотонной последовательности имеем, что неубывающая последовательность {S_n} имеет предел в том и только том случае, когда она ограничена сверху.

Теорема1 (интегральн пр-к Коши сходимости ряда) Если ф-ция f(x) неотриц и убывает на полупрямой х≥1, то для того чтобы ряд ряд сход. Необх и дост, чтобы сход интеграл

Теорема2 (пр-к сравнения):Пусть 0≤Un≤Vn для любых nєN, тогда 1) Если ряд сходится, то и сход.

2) если 1-ый ряд расх, то и 2-ой тоже.

Док-во: Если ряд сходится, то δn ≤δ, где δ-сумма, δn – n-нная частичная сумма ряда Vn. Т.к. 0≤Un≤Vn, то ≤ = δn ≤δ;Следов. S≤δn , а это в силу леммы означает, что ряд Un сходится.

Если же ряд Un расх, то расх и ряд с членами Vn, т.к. если бы Vn сход., то по уже доказанному сход. бы и ряд с членами Un.

Теорема3 (предельный пр-к сравнения) Пусть Un≥0 Vn>0 и =ℓ , тогда

1) Если Vn cход и 0≤ℓ<+∞, то сходится и Un.

2) Если Vn расход и 0<ℓ≤+∞, то расходится и Un.

В частности если =1, то эти ряды сход. или расх. одновр.