39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Опр1: Ряд C наз. абс. сход., если ряд -сход.

Теорема1(Критерий Коши абс. сход. ряда): Для того чтобы ряд абс. сход., необх. и дост., чтобы для , , n> , p выполнялось нер-во

Док-во: Следует из опред. абсол. сход. ряда и критерий Коши сходимости ряда.

Теорема2: Если ряд абс. сход., то он сход.

Теорема3: Если ряд абс. сход., то любой ряд составленный из тех же членов что и данный ряд, но взятых в противоположном порядке, так же сходится и имеет ту же сумму, т.е. =

Теорема4: Если ряды и абс. сход., то ряд составленный из возможных попарных произвед. членов этих рядов так же абс. сход., причём его сумма равна произвед. сумм этих рядов.

Замечание: Произвед. рядов и удобно записать в виде:

Опр1: Сходящийся но не абсолютно сходящийся ряд (1) наз. условно сходящимся рядом.

Для ряда (1) с действительными членами обозначим через и обозначим соответствующие его отрицательные и не отрицательные члены взятые в том порядке в котором они расположены в ряде (1). Если одно из множеств , окажется конечным, то отобразив в ряде (1) соответствующие конечное число первых членов от чего сходимость рядов не нарушится. Получим остаток ряда члены которого знакопостоянны. А значит если ряд сходится, то он сходится абсолютно.

Таким образом если ряд (1) условно сходится ,то и бесконечны

Рассмотрим ряды и (2)

Лемма: Если ряд (1) условно сход.то оба ряда (2) расходятся.

Теорема о престановке членов

Теорема 11. Пусть имеем сходящийся ряд (1.1), где u_n >= 0, n = 1, 2,.. . Тогда при любой перестановке членов этого ряда получим новый ряд, который также сходится и имеет ту же сумму, что и данный ряд.

40. Признак Абеля и Дирихле.

Рассмотрим ряды

Теорема:

1. Признак Абеля. Если ряд (2) сходится, а последовательность - монотонна и ограничена, то ряд (1) сходится.

2. Признак Дирихле. Если последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена, а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (1) сходится

Доказательство: Согласно критерию Коши:

Полагая , запишем

т.к. и

1) Из условия признака Абеля следует, что ограничена, т.е. и ряд (2) сходится а значит по критерию Коши

Тогда получим, что

Замечание: На практике в кач-ве последов-ти чаще всего берется или послед-ть или одна из последов-тей .

41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.

Теорема 16. Если ряды (1.1) и (2.6) абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных произведений u_kv_l, к =1, 2, .. ., l =1, 2, .. ., расположенных в любом порядке также абсолютно сходится, причем его сумма S = u• v, где u, v — суммы рядов (1.1) и (2.6) соответственно.

Теорема1(т.Римана): Если ряд с действ. членами условно сход., то каково бы не было действ. число S, можно так представить члены этого ряда, что сумма получ. ряда будет равна S.

42. Бесконечные произведения.

Определение 1. Пара последовательностей {u_n}, U_n € R, n = 1, 2,... и {P_n} где P_n = u₁ • u₂ • ... • u_n называется бесконечным произведением и обозначается . (6)

Элементы последовательности {u_n} называются сомножителями бесконечного произведения (6), элементы {P_n} — его частичными произведениями. Если последовательность { Pn } имеет конечный предел P≠0, то говорят что бесконечное произведение (6.) сходится и имеет значение равное P. При этом пишут = P. В противном случае говорят, что бесконечная последовательность (6) расходится. Если P = 0, то говорят, что бесконечная последовательность (6) расходится к

нулю. Очевидно, если хотя бы один из сомножителей U_n =0 то =0. Поэтому в дальнейшем будем считать, что

u_n≠0, n=1,2,…

Отметим некоторые свойства бесконечных произведений. Выражение q_n = u_n+1 • u_n+2 • ... называется n-ым остаточным произведением.

1°. Если бесконечное произведение сходится, то любое его остаточное произведение сходится. Если какое-либо оста­точное произведение сходится то и само бесконечное произведение сходится. Следовательно, отбрасывание или присо­единение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произ­ведения.

2^°. Если бесконечное произведение (6) сходится, то предел его остаточного произведения lim q_n = 1.(n→ )

3° (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.) Если бесконечное произведение сходится, то lim u_n = 1.(n→ )

Теорема 18. Бесконечное произведение (6) у которого u_n > 0, n = 1, 2,.. . сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (6.1)

В случае сходимости сумма S ряда (6.1) и значение P бесконечного произведения (6) связаны соотношением P=e^s.(6.2)

Доказательство. Пусть P_n — n-ое частичное произведение для (6), S_n — n-ая частичная сумма для ряда (6.1). Тогда lnP_n = S_n, откуда P_n = e^S-. Переходя к пределу при n→ получим утверждение теоремы и формулу (6.2).

Теорема 19. Если u_n >=0 или u_n <= 0, n = 1, 2, .. . то бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд