- •1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний
- •1.9. Функции нескольких переменных.
- •1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
- •1.9.2. Последовательности точек из Rm.
- •1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
- •1.9.4. Предел функции нескольких переменных
- •1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
- •1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
- •1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
- •1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
- •1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
- •1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
- •1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
- •1.9.7.1. Частные производные высших порядков
- •1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
- •1.9.8. Формула Тейлора.
- •1.9.9. Неявные функции.
- •1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
- •Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
- •1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x1, ..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2f(M0) положительно определена), если же d2f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.
Пример 5. Исследовать на экстремум функцию
u = x2 + y2 + z2 +2x + 2y + 4z.
Находим стационарные точки
Стационарная точка М0(-1, -1, -2).
Вычисляем второй дифференциал функции в этой точке
d2u = 2(dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2 ,
матрица квадратичной формы имеет вид:
Квадратичная форма является положительно определенной, поэтому в т. (-1, -1, -2) функция имеет локальный минимум (не трудно проверить, что он является и глобальным).
Замечание. Если второй дифференциал функции f(x1, ..., xm) в т. М0 не является ни знакоопределенной, ни знакопеременной квадратичной формой (d2f(M0)0 всюду или d2f(M0)0 всюду, причем есть ненулевые наборы dx1, ..., dxm, в которых d2f(M0)=0), т.е. является квазизнакоопределенной квадратичной формой, то ничего нельзя сказать о наличии или отсутствии в этой точке локального экстремума, и требуется дополнительное исследование. Это показано на следующих двух примерах.
Пример 6. f(x,y) = x3 + y3.
Стационарная точка (0,0)
- является квазизнакоопределенной квадратичной формой. Экстремума в т. (0,0) нет, т.к. f(x,x)=2x3 меняет знак вдоль прямой у=х при переходе через т. (0,0).
Пример 7. f(x,y) = x2 + 2xy + y2
Стационарных точек - целая прямая y=-x
Рассмотрим т. (0,0):
является квазизнакоопределенной квадратичной формой ( =0 при dx=-dy). Заметив, что f(x,y)=(x+y)2 0, мы получаем, что т. (0,0) (не строгий) минимум.
В частном случае двух переменных можно сформировать следующее достаточное условие экстремума.
Теорема. Пусть функция f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки (х0,у0), которая является стационарной для f(x,y), т.е. в ней
Тогда если в этой точке
1) , то (х0,у0) - точка локального минимума,
2) , то (х0,у0) - точка локального максимума,
3) , то в т. (х0,у0) нет экстремума,
4) , то требуется дополнительное исследование.
Пример 8. Найти экстремум функции z = x2 + 2x + y2 +4y + 1.
Стационарная точка (-1, -2)
Следовательно, в т. (-1, -2) локальный минимум.
1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Определение 1. Функция u=f(x1, ..., xm) имеет условный максимум (условный минимум) в точке , если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех точек M(x1, ..., xm) этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи
выполняется неравенство f(M0) f(M) (f(M0) f(M)).
То, что условный экстремум не совпадает, вообще говоря, с обычным экстремумом функции, видно на следующем примере.
Пример 1. u = x2 + y2 при условии x+y-1=0
Безусловный экстремум этой функции достигается в точке (0,0) и равен 0.
Условный экстремум ищем при условии x+y-1=0, т.е. для функции
u = x2 + y2 = x2 + (1-x)2 = 2x2 - 2x + 1
, поэтому в т. локальный минимум.
Следовательно функция u = x2 + y2 имеет условный минимум в т. ( ; ), который равен .
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа
Параметры - называются множителями Лагранжа.
Необходимые условия условного экстремума записываются в виде системы
из которой находятся , где - координаты точки, в которой возможен условный экстремум (для каждой такой точки получается свой (!) набор параметров ).
Достаточным условием условного экстремума является знакоопределенность второго дифференциала функции L при , вычисленного в точке . При этом требуется знакоопределенность второго дифференциала не для произвольных наборов dx1,...,dxm, а для наборов, связанных соотношениями:
(k = 1,2, ..., s).
(Эти соотношения получаются, если взять дифференциалы от уравнений связи).
Пример 2. Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)=xy при наличии связи x2+y2 =1.
Функция Лагранжа имеет вид:
L = xy + (x2 + y2 -1)
Решая эту систему, получим четыре решения:
(+, если х,у разных знаков)
(-, если х,у одного знака).
Рассмотрим, например, точку
Для функция Лагранжа принимает вид:
L(x,y) = xy - (x2 + y2 -1).
d2L( ; ) = -(dx)2 + 21dxdy - (dy)2 = -(dx - dy)2.
Этот дифференциал является квазизнакоопределенным для произвольных dx и dy. Однако, dx и dy не являются независимыми, и из уравнения связи следует
x2 + y2 -1 = 0 2xdx + 2ydy = 0, и в т. ( ; ) получаем dx + dy = 0, или dy = -dx.
Подставим это соотношение в d2L( ; ), получим
.
Эта квадратичная форма отрицательно определена, и в т. ( ; ) исходная функция f=xy имеет условный максимум.
Замечание. Для разыскания наибольшего (наименьшего) значения дифференцируемой функции u = f(x1, ..., xm) в замкнутой области D, ограниченной гладкой кривой, поступаем следующим образом:
1) находим стационарные точки внутри D, решая систему
2) находим стационарные точки функции Лагранжа для случая, когда уравнением связи является уравнение границы области D;
3) сравниваем значения функции f в полученных точках: наибольшее из них будет наибольшим значением функции в области D; наименьшее - наименьшим значением функции в области D.
В предыдущем примере внутри круга x2 + y2 1 функция f(x,y)=xy имеет четыре стационарных точки
.
Вычислив значения функции в этих точках, получим, что наибольшее значение функции в круге равно и достигается в точках (- ;- ), ( ; ), а наименьшее значение равно - .