1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции

Пусть функция u = f(x₁, ..., x_m) и система функций

определяют сложную функцию, тогда справедлива следующая

Теорема. Пусть функции _i(t₁, ..., t_k) (i = 1, ..., m) дифференцируемы в точке , а функция u = f(x₁, ..., x_m) дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция дифференцируема в точке А₀. Для частных производных в т. А₀ справедливы следующие формулы:

в которых частные производные берутся в точке М₀, а частные производные берутся в точке А₀.

Идея доказательства такая же, как и в одномерном случае.

В условие дифференцируемости внешней функции

подставляются не произвольные приращения переменных x₁, ..., x_m, а приращения функции , соответствующие приращениям аргументов t₁, ..., t_k. Эти приращения представимы в виде (следует из условия дифференцируемости функций )

Выделяя затем линейную часть u относительно t₁, ..., t_k, мы получаем выражения для частных производных сложной функции.

Заметим, что в случае, когда х₁, ..., х_m зависят только от одной переменной t, производная по t сложной функции (обыкновенная) вычисляется по формуле

и если, кроме того, f зависит от одной переменной х, то формула принимает вид: , т.е. совпадает с формулой для одномерного случая.

Пример 1. , где x=cost, y=sint.

здесь вместо х и у надо поставить их выражения через t

.

Пример 2. , где x=sint. Вычислить .

(Здесь t и x считаются независимыми переменными)

(Здесь вместо х необходимо подставить его выражение через t)

Пример 3. z = x² - y² , где x=t₁t₂, y=t₁ - .

Вычислить

1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциал функции нескольких переменных определяется как линейная (относительно приращений аргументов) часть приращения дифференцируемой функции

,

где dx_i  x_i (i=1, ..., m), если x₁, ..., x_m - независимые переменные.

Как и в случае одной переменной первый дифференциал обладает свойством инвариантности его формы, т.е. выражение для первого дифференциала имеет тот же вид и в случае, когда х₁, ..., х_m являются функциями некоторых переменных t₁, ..., t_k. Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие формулы

Например, для дифференциала произведения рассуждаем следующим образом. Рассмотрим функцию  = uv двух переменных u, v. Дифференциал этой функции равен

но следовательно,

d = vdu + udv.

Пример 1. . Найти полный дифференциал функции

Таким образом,

.

Пример 2. , где x=cost, y=t². Вычислить дифференциал сложной функции.

Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала

.

Здесь

1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент

Пусть задана функция двух переменных u=f(x,y) (для большего числа переменных все аналогично), которая определена в окрестности т. (x₀,y₀) и дифференцируема в этой точке. Мы будем рассматривать нашу функцию на лучах, проходящих через т. (x₀,y₀). Луч задается начальной точкой и направляющим единичным вектором ,

его параметрические уравнения имеют вид:

.

Подставляя эти выражения вместо аргументов функции u=f(x,y), мы получим функцию одной переменной u(t): u = f(x₀ + tcos, y₀ + tcos). Если существует, то эту производную мы назовем производной функции u=f(x,y) в точке (x₀,y₀) в направлении вектора (обозначение ). Используя формулы для производных сложной функции, получаем (для точки t=0)

Е сли ввести в рассмотрение вектор (обозначаемый gradu), то выражение для производной в направлении вектора можно записать в виде

или

Меняя направление вектора , мы будем получать различные значения . В частности:

1) , если gradu (( ,gradu) = 0).

2) , если , и это значение является наибольшим из возможных (( ,gradu) принимает наибольшее значение).

3) , если (( ,gradu) принимает наименьшее значение).

Таким образом, gradu определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

Пример 1. Найти производную функции z = x²y³ в точке (1,2) в направлении вектора, составляющего с положительным направлением оси Ох угол 45⁰.

Координаты вектора имеют вид

Пример 2. Найти grad(x² - y) в точке (1,1) и вычислить производную функции в направлении градиента в этой точке

.

Производная функции в направлении градиента равна модулю градиента.

; где .

В трехмерном случае

,

где cos, cos, cos - направляющие косинусы вектора .

Соответственно,