- •1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний
- •1.9. Функции нескольких переменных.
- •1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
- •1.9.2. Последовательности точек из Rm.
- •1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
- •1.9.4. Предел функции нескольких переменных
- •1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
- •1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
- •1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
- •1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
- •1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
- •1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
- •1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
- •1.9.7.1. Частные производные высших порядков
- •1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
- •1.9.8. Формула Тейлора.
- •1.9.9. Неявные функции.
- •1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
- •Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
- •1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
Определение 1. Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если .
Определение 2. Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Условию непрерывности можно придать разностную форму. Пусть
,
тогда условие непрерывности имеет вид:
.
(В примере 1 предыдущей темы рассмотрена непрерывная в нуле функция.)
Фиксируем все переменные, кроме одной, проложив, например, х2=а2,..., хm=аm. Тогда получим функцию одной переменной f(x1,a2,...,am), которая будет непрерывной в т. х1=а1, если f(x1,...,xm) непрерывна в т. А (очевидно). Таким образом, из непрерывности функции нескольких переменных в точке следует ее непрерывность по каждой координате (при фиксированных остальных). Обратное утверждение неверно, что показывает пример 2 предыдущей темы:
На координатных осях функция непрерывна (просто тождественно равна 0), но даже не имеет предела в т. (0,0). Непрерывности вдоль лучей также не достаточно для непрерывности в точке функции нескольких переменных. Это показывает пример 3 предыдущей темы.
1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
1. Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям (для частного знаменатель отличен от нуля).
2. Непрерывность сложной функции.
Пусть функции заданы на множестве Т Rk, тогда каждой точке (t1,...,tk) T ставится в соответствие число u по формулам , т.е. на множестве Т определена функция, которую мы назовем сложной функцией.
Пример 1. ; y=t ; x=t+s, тогда сложная функция имеет вид .
Теорема. Пусть имеет смысл сложная функция f(1, ..., m). Если функции 1, ..., k непрерывны в т. , а функция f непрерывна в т. , тогда сложная функция f(1, ..., k) непрерывна в т. t(0).
По этой теореме функция непрерывна при всех (t,s)R2.
3. Устойчивость знака непрерывной функции.
Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна в т.А и f(A)0. Тогда существует такая -окрестность т.А, в которой f(M) имеет тот же знак, что и f(A).
4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
Теорема. Пусть функция u=f(M) непрерывна на связном множестве . Тогда для любых точек А, В и для любой кривой, L, соединяющей эти точки и лежащей в , найдется точка на этой кривой, в которой функция принимает любое заданное промежуточное значение между f(A) и f(B).
Условие связности существенно уже в одномерном случае:
5. Теоремы Вейерштрасса.
Теорема 1. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, ограничена на этом множестве.
Теорема 2. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней. Для неограниченных или не замкнутых множеств эти утверждения неверны уже в одномерном случае.
1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
Пусть М(х1, х2, ..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, ..., xm). Пусть xk - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции
xk u f(x1, ..., xk-1, xk+xk, xk+1, ..., xm) - f(x1, ..., xm).
Рассмотрим отношение , которое зависит от xk и определено при всех достаточно малых xk, отличных от нуля.
Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x1, ..., xm) в т. М(x1, ..., xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов: . Таким образом, .
Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.
Пример 1. u = x2 + 3xy - y
вычисляем при условии, что y = const
вычисляем при условии, что x = const
Пример 2.
(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции).
Аналогично
.
Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.
Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.
Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).
Пример функции показывает, что частные производные ее
(аналогично )
существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.
Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.