- •1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний
- •1.9. Функции нескольких переменных.
- •1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
- •1.9.2. Последовательности точек из Rm.
- •1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
- •1.9.4. Предел функции нескольких переменных
- •1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
- •1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
- •1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
- •1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
- •1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
- •1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
- •1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
- •1.9.7.1. Частные производные высших порядков
- •1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
- •1.9.8. Формула Тейлора.
- •1.9.9. Неявные функции.
- •1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
- •Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
- •1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
1.9.8. Формула Тейлора.
Пусть функция f(x1, ..., xm) задана и n+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки М0( ), тогда для всех точек М(х1,...,хm) из этой окрестности справедлива формула
где
где зависит, вообще говоря, от М(х1,...,хm).
Заметим, что в принятых нами символических обозначениях
причем .
Таким образом, формула Тейлора может быть записана более компактно:
где
, 0<θ<1
Замечание 1. При более слабых предположениях, а именно, если f(x1,...,xm) дифференцируема (n-1) раз в окрестности т.М0 и n раз в самой точке М0, для остаточного члена в формуле Тейлора Rn+1(x1,...,xm) справедливо представление Rn+1(x1,...,xm) = 0(n) (форма Пеано), где
.
Замечание 2. В случае двух переменных (u=f(x,y)) формула Тейлора второго порядка в развернутом виде записывается следующим образом:
Пример 1. Разложить по формуле Тейлора второго порядка в окрестности т. (1,1) функцию f(x,y) = x3 - 3xy3 + xy - y2 + 6x - y + 1
Пример 2. Разложить по формуле Маклорена до членов третьего порядка функцию (по формуле Тейлора с центром в т.М0(0,0)). Последовательно находим дифференциалы функции u до третьего порядка включительно.
Полагая здесь x=y=0, dx=x, dy=y, получаем
u(0,0)=1; du(0,0)=0; d2u(0,0)= -(x2+y2); d3u=0
и
u(x,y) .
1.9.9. Неявные функции.
Пусть задано уравнение f(x,y)=0, где f - дифференцируемая функция переменных х и у. Возникает вопрос о том, при каких условиях это функциональное уравнение однозначно разрешимо относительно у, т.е. однозначно определяет явную функцию y=(x), и следующий вопрос о том, при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.
Трудность этих вопросов видна уже на простейшем примере уравнения y2 - x = 0. Это уравнение
определяет при х0 бесконечно много явных функций.
Например, и любая функция, равная + для одних значений х, и - для других значений.
Вопрос 1. При каких условиях существует единственная явная функция, удовлетворяющая уравнению y2 = x? Фиксируем точку N0(x0,y0) на кривой y2-x=0, отличную от начала координат.
Очевидно, что часть кривой, лежащая в достаточно малой окрестности точки N0, однозначно проектируется на ось Ох.
x0
Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2 - x только в этой достаточно малой окрестности точки N0, то уравнение f(x,y)=0 однозначно разрешимо относительно у и определяет единственную явную функцию для у0>0 (см. рис.) и для у0<0.
Если мы теперь рассмотрим точку N1(0,0), то часть кривой
y2-x=0 не однозначно проектируется на ось ОХ (см. рис.). Аналитически это означает, что если рассматривать функцию f(x,y)=y2-x в любой окрестности т. N1(0,0), то уравнение f(x,y)=y2-x=0 не является однозначно разрешимым относительно у. Заметим, что в этой точке N1(0,0) частная производная функции f(x,y)=y2-x обращается в нуль. В общем случае это обстоятельство имеет принципиальное значение: для однозначной разрешимости уравнения f(x,y)=0 в окрестности т. (х0,у0) относительно у требуется, чтобы .
В случае, когда рассматривается уравнение вида F(u, x1, ..., xm)=0, имеют место те же трудности, что и в случае одной переменной: для однозначной разрешимости этого уравнения относительно u нужно рассматривать функцию F(u, x1, ..., xm) в окрестности точки (для которой , и требовать, чтобы в т. N0.
Формулировка теоремы о неявной функции имеет вид.
Теорема. Пусть функция F(u, x1, ..., xm) дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем и . Тогда для любого достаточно малого >0 существует такая окрестность точки , в которой определена (единственная) функция u=u(x1, ..., xm) удовлетворяющая условию u-u0< и являющаяся решением уравнения F(u, x1, ..., xm)=0.
Эта функция u=u(x1, ..., xm) непрерывна и дифференцируема в окрестности т. М0 .
Замечание 1. Частные производные вычисляются по формулам
(i = 1, ..., m).
Эти формулы получаются следующим образом: подставим неявную функцию u=u(x1, ..., xm) в уравнение F(u, x1, ..., xm)=0,
получим
F(u(x1, ..., xm), x1, ..., xm)=0.
Это равенство является тождеством по x1, ..., xm. Вычислим частные производные от обеих частей этого равенства по xi, используя теорему о производной сложной функции,
Аналогично можно найти и высшие k-е производные неявной функции, если функция F(u, x1, ..., xm) дифференцируема k раз.
Пример 1. Найти частные производные функции z, заданной неявно:
F z3 + x5 + y5 - 2xyz + 2x - 4 = 0.
Уравнение одназначно разрешимо относительно z, если , т.е. 3z2 - 2xy 0.
Теорема о неявной функции имеет следующие геометрические приложения.
Пусть задана поверхность уравнением F(x,y,z)=0.
Требуется написать уравнение касательной плоскости к этой поверхности и вычислить координаты нормального вектора к этой поверхности в некоторой точке (x0,y0,z0). Предположим, что одна из частных производных отлична от нуля в этой точке. Это значит, что одна из переменных может быть выражена как функция двух других.
Пусть, например, , тогда x = (y,z), а для такой функции, уравнение касательной плоскости имеет вид
Нормальный вектор имеет координаты:
.
Подставляя сюда выражения для , получим
или , а в качестве нормального вектора к поверхности можем взять следующий:
.
Замечание: Если рассматривать поверхность уровня F(x,y,z)=C функции u=F(x,y,z), то мы получим, что ортогонален поверхности уровня.
Пример 2. Дана поверхность x2 +4y2 +2z2 = 7. Написать уравнения касательных плоскостей к этой поверхности, которые параллельны плоскости x+y+z=1
Здесь F(x,y,z) = x2 +4y2 +2z2 - 7,
.
Нормальный вектор к поверхности имеет координаты
он должен быть коллинеарен нормальному вектору к заданной плоскости, т.е. вектору .
Отсюда
Решив систему уравнений , находим координаты точек касания .
Касательные плоскости имеют уравнения: