- •1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний
- •1.9. Функции нескольких переменных.
- •1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
- •1.9.2. Последовательности точек из Rm.
- •1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
- •1.9.4. Предел функции нескольких переменных
- •1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
- •1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
- •1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
- •1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
- •1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
- •1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
- •1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
- •1.9.7.1. Частные производные высших порядков
- •1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
- •1.9.8. Формула Тейлора.
- •1.9.9. Неявные функции.
- •1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
- •Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
- •1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
Определение 1. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена на множестве . Внутренняя точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех М(х1, ..., хm) U(M0) выполняется неравенство f(M) f(M0) [f(M) f(M0)].
Определение 2. Точка М0 локального максимума или локального минимума называется точкой локального экстремума.
Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю:
Доказательство: Докажем, что . Если точка является локальным экстремумом функции f(x1, ..., xm), то, очевидно, точка является точкой локального экстремума функции одной переменной x1. По теореме Ферма получаем (см. рис. 1)
Рис.1
Пример 1. Найдем точки экстремума функции z = x2 + y2. Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых , т.е. . Система имеет единственное решение (0,0). Убедимся, что в этой точке действительно функция имеет экстремум. Для этого заметим, что в т. (0,0) z=0, во всех других точках z=x2+y2>0. Поэтому точка (0,0) является не только точкой локального минимума (но и “глобального” минимума) (см. рис.2).
Пример 2. Исследуем точки экстремума функции z=x2-y2.
Поступая аналогично предыдущему случаю, находим
; .
Решение (0,0), т.е. если функция z=x2-y2 имеет экстремум, то он может быть только в этой точке.
Исследуем, имеет ли функция z=x2-y2 в точке (0,0) локальный экстремум. В т. (0,0) z=0. Однако здесь при у=0 и любых х0 z=x2>0, а при х=0 и любом у0 z=-у2<0. Поэтому точка (0,0) не является точкой локального экстремума функции z=x2-y2 . Функция z=x2-y2 вообще не имеет точек экстремума. (см. рис.3).
Рис.2 Рис.3
Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции f(x1, ..., xm), называются стационарными точками этой функции.
Примеры 1 и 2 показывают, что в каждой стационарной точке требуется дополнительное исследование на экстремум, т.е. нужны достаточные условия экстремума.
Прежде, чем их сформулировать, напомним некоторые сведения из теории квадратичных форм.
Определение 3. Функция (aik = aki) (1)
переменных h1, ..., hm называется квадратичной формой.
Числа aik называются коэффициентами квадратичной формы.
Определение 4. Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных h1, ..., hm , для которых выполняется условие , эта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно определенные и отрицательно определенные формы объединяются общим названием - знакоопределенные формы.
Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной формы - критерий Сильвестра.
Для того, чтобы квадратичная форма (1) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:
Для того, чтобы квадратичная форма (1) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
Пример 3. А(h1,h2) = - положительно определенная квадратичная форма, т.к.
Пример 4. А(h1,h2) = не является знакоопределенной, т.к.
Вернемся теперь к рассмотрению функции f(x1, ..., xm) и заметим, что второй дифференциал функции в т. представляет собой квадратичную форму относительно переменных dx1, ..., dxm:
.
Замечание. Если функция f имеет непрерывные вторые частные производные, то второй дифференциал является квадратичной формой с симметричной матрицей, т.к.