- •1.9. Функции нескольких переменных Для замечаний
- •1.9. Функции нескольких переменных.
- •1.9.1. Множества в евклидовом пространстве Rm
- •1.9.2. Последовательности точек из Rm.
- •1.9.3. Понятие функции нескольких переменных
- •1.9.4. Предел функции нескольких переменных
- •1.9.5. Непрерывность функции нескольких переменных
- •1.8.9.1. Основные свойства непрерывных функций
- •1.9.6. Дифференцируемость функций нескольких переменных
- •1.9.6.1. Частные производные функций нескольких переменных
- •1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
- •1.9.6.5. Дифференцирование сложной функции
- •1.9.6.6. Дифференциал функции нескольких переменных
- •1.9.6.7. Производная по направлению. Градиент
- •1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.
- •1.9.7.1. Частные производные высших порядков
- •1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков
- •1.9.8. Формула Тейлора.
- •1.9.9. Неявные функции.
- •1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.
- •Достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
- •1.9.11. Условный экстремум функции нескольких переменных.
1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных
Определение 2. Функция u=f(x1, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1, ..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
f(x1+x1, ..., xm+xm) - f(x1, ..., xm)
u = A1x1 + A2x2 + ... + Amxm + 1x1 + ... + mxm,
где А1, А2, ..., Аm - некоторое, не зависящие от x1, ..., xm, числа,
а 1, 2, ..., m - бесконечно малые при x10, ..., xm0 функции, равные 0 при x1=x2=...=xm=0.
Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:
u = A1x1 + A2x2 + ... + Amxm + )() (1)
Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x1, ..., xm) и членов более высокого порядка (по x1, ..., xm или ).
Теорема 1. Если функция u=f(x1, ..., xm) дифференцируема в точке
M(x1, ..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где Аi определяются из условия дифференцируемости.
Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме xk, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление
xku = Akxk + k xk
Отсюда
и т.к. k 0 при xk 0, то
.
Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:
Замечание 1. Существования частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.
Пример 4.
Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать, т.к. порядок приращения функции в нуле равен ( ), а в условии дифференцируемости требуется, чтобы порядок приращения был не ниже первого.
Предположим, что приращение функции представляется в виде
u = 0x + 0y + 0().
Это означает, что ; ,
т.е. должно выполняться условие
.
Положив x = y, получим
.
Отсюда следует, что не является 0(), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.
Замечание 2. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что .
Обратное неверно даже в одномерном случае.
В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно
при .
Здесь использовано неравенство , которое, очевидно, следует из неравенства (а-b)2 0.
1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости
Пусть функция u = f(x1, ..., xm) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , и эти частные производные непрерывны в самой точке М0, тогда эта функция дифференцируема в т. М0. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются как функции m переменных (x1, ..., xm) в окрестности точки М0, причем эти функции непрерывны по совокупности переменных в т. М0 (и противоречия с примером 3 этой темы нет).
1.9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)
Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х0, y0, f(x0,y0)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с при 0, где
.
Пусть u0 = f(x0,y0), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x0,y0) этой функции записывается в виде
u - u0 = A(x-x0)+B(y-y0)+0(),
или
u = u0 + A(x-x0)+B(y-y0)+0().
Рассмотрим следующую плоскость
U-u0 = A(x-x0) + B(y-y0)
(U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством
U = u0 + A(x-x0) + B(y-y0),
и разность
U-u = u0 + A(x-x0) + B(y-y0) - (u0+A(x-x0) + B(y-y0) + 0()) = 0().
Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x0,y0), то график этой функции в соответствующей точке (x0,y0, f(x0,y0)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением
z - f(x0,y0) =
Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты
.
Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x0,y0, f(x0,y0)) имеют вид:
.
Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.
Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N0 поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N0 и любую точку N1 поверхности, стремится к нулю, когда точка N1 стремится к N0.
Пример 1. Дана функция z = 2x2 - 3xy + 4y2 - 2x + y
и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответствующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.
Уравнение касательной плоскости
z - 2 = -1(x-1) + 6(y-1)
Уравнения нормали к графику функции в той же точке имеют вид: