2. Законы сохранения и их роль в формировании научной картины мира (законы сохранения энергии, импульса и момента импульса)
Природа при всем разнообразии и сложности явлений и процессов, протекающих в ней, подчинена ряду закономерностей. Например, существуют физические величины, которые остаются постоянными при любых превращениях материального мира. Это так называемые константы. Кроме этого природа подчиняется нескольким законам сохранения: закон сохранения импульса; закон сохранения энергии; закон сохранения момента импульса; закон сохранения массы; закон сохранения электрического заряда и некоторые другие. Существование этих фундаментальных законов позволяет формировать целостные представления о явлениях природы и их сущности. Независимость законов сохранения ни от характера движения, ни от природы сил, дает возможность делать обобщенные научные выводы, определяющие ход развития экономической жизни общества и рисующие перспективы эволюции человеческой цивилизации.
Согласно второму закону Ньютона, импульс отдельного тела может меняться под действием импульса силы. Рассматривая замкнутую систему, в которой действуют только внутренние силы – силы, созданные телами, входящими в данную систему, можно заключить, что результирующий импульс данной системы является величиной постоянной. Особенно отчетливо этот вывод можно сделать, рассматривая замкнутую систему двух тел. Согласно второму закону d p = F d t , импульс отдельного тела может меняться под действием импульса силы. Рассматривая замкнутую систему тел, т.е. систему, в которой действуют только внутренние силы –созданные телами, входящими в систему и никакими другими, сделаем заключение, что импульс такой системы равен векторной сумме импульсов обоих тел: p = p1 + p2 или d p = d p1 + d p2. Но d p = F d t, следовательно, d pc = F12 d t + F21 d t. По третьему закону Ньютона F12 = - F21 , поэтому d pc = F12 d t - F21 d t = 0. Следовательно pс = const. Тогда формулировка закона сохранения импульса имеет следующий вид: вектор импульса замкнутой системы тел есть величина постоянная.
Данный закон лежит в основе реактивного движения и позволяет человечеству строить грандиозные планы развития авиации и ракетостроения.
В ракете при сгорании топлива образуются газообразные продукты, которые со скоростью vг истекают из сопла. За счет истечения газов масса ракеты за единицу времени уменьшается на μ. Через некоторый промежуток времени масса ракеты M уменьшится и станет равной M – μ d t, а скорость ракеты v увеличится и станет равна v + dv. В момент времени t суммарный импульс ракеты и газов составляет величину M v, а в момент времени t + d t его величина равна (M - μ d t) (v + dv) + μ d t (vг + dv). Система тел ракета –газы является замкнутой, а следовательно суммарный импульс не изменяется: M v = (M - μ d t) (v + dv) + μ d t (vг + dv). Отсюда следует, что M dv/dt = - μ vг . Величина μ vг , как следует из закона Ньютона является реактивной силой. Знак минус указывает на то, что реактивная сила направлена против скорости истечения загов. Это уравнение позволяет сделать вывод о том, что достижение больших скоростей требует больших затрат топлива. Расчеты показывают, что при полетах на Луну масса топлива должна составлять 90% массы самой ракеты. Необходимо отметить, что реактивное движение встречается и в живой природе (например, движение медузы).
В замкнутой системе сохраняется и момент импульса (момент количества движения), величина равная произведению импульса тела на величину радиус-вектора траектории его движения K = [R p], где p = m v. Если рассматривать материальную точку рис.8, вращающуюся по окружности радиусом R , то K = R m v.
Воспользуемся записью второго закона Ньютона для вращательного движения: I β = M, где β – угловое ускорение, I – момент инерции, M –момент внешних сил. Можно показать, что закон сохранения момента импульса вытекает из второго закона Ньютона для вращательного движения. Учитывая, что для материальной точки I = m R 2 , а угловое ускорение β = d ω/ d t, закон Ньютона можно записать в следующем виде d (m R 2 ω)/ d t = M или d K / d t = M. Таким образом, если момент внешних сил равен нулю M = 0, то момент импульса тела К является постоянной величиной.
Рис. 8. Вращение по окружности
Расчеты движения планет вокруг Солнца, сделанные И.Кеплером (1571-1630 гг.) и выраженные в виде законов, после открытия Ньютоном закона сохранения момента импульса стали пониматься как следствия этого закона.
Весь реальный мир, существующий вокруг нас, находится в непрерывном движении, количественной мерой которого служит энергия. Постоянный рост потребления энергии и ее нехватка оказывает существенное влияние не только на повседневную жизнь человека, но и на систему международных отношений. Представление об энергии прежде всего связано с углем, нефтью газом, ураном и падающей водой. Энергия необходима и в быту и в промышленном производстве. Мы также из рекламы знаем, что продукты питания дают энергию, чтобы поддержать трудовые ресурсы человека. Все живые существа буквально поедают энергию, поддерживая собственную жизнь. Удивительно, что важнейшая роль энергии не способствовала проникновению человека в сущность этого понятия долгое время. Смысл этого понятия до середины XIX века оставался не раскрытым. Ни Галилео Галилей, ни Исаак Ньютон, ни Бенджамин Франклин не представляли определения энергии и ее свойств. Энергия как и движение проявляется в различных формах.
В механике различают кинетическую и потенциальную энергии, которые могут превращаться друг в друга и тесным образом связаны с понятием работы. И одним из фундаментальных законов является закон сохранения энергии. Применительно к механической форме движения этот закон формулируется так: полная механическая энергия замкнутой системы остается постоянной.
Существует много форм движения и каждой форме соответствует определенный вид энергии. Можно сказать, что энергия является функцией состояния, что означает соответствие каждому состоянию тела или их системы определенное значение энергии. Изменение состояния материального объекта и переход одного вида движения в другой сопровождается непрерывным превращением форм энергии.
Более подробно остановимся на механической энергии, понимая, что в природе существуют химическая, ядерная, электромагнитная, световая и другие формы энергии. Если тело движется прямолинейно с ускорением а, то сила F совершает работу. На бесконечно малом участке пути работу можно определить следующим выражением dA = F dS = ma dS = mdv/dt v dt = mvdv. Полная работа за время t, в течение которого скорость изменяется от v1 до v2, определяется выражением А = ∫v2v1 mvdv =m v22 /2 – m v21/2. Величина W = mv2 /2 называется кинетической энергией. Таким образом, работа, совершаемая над телом, равна изменению его кинетической энергии.
Данное утверждение справедливо и для потенциальной энергии. Предположим, что тело массой m в поле земного тяготения поднимается вверх под действием силы F, равной весу данного тела. Допустим, что скорость движения тела v является постоянной (v=const), а высота, на которую поднято тело по произвольной траектории, равна h (рис. 9).
Рис. 9. Потенциальная энергия тела в поле Земли
Работу, которая совершается силой F, можно вычислить на основе скалярного произведения (F, d s). Тогда А = ∫ 0h F d x = ∫ 0 h m g x = m g h.
Очевидно, что работа не зависит от формы траектории, а определяется только начальными и конечными точками. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, по которой она совершается, называют потенциальными. Примерами таких сил являются силы гравитации, силы упругости, силы электростатического взаимодействия. Работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии тела: A = U2 – U1. Аналогичный результат можно получить и для деформированной пружины. Если потенциальную энергию определять не относительно поверхности Земли, а относительно любой произвольной точки, то выражение примет вид: U = A + const. Наличие постоянного слагаемого говорит о том, что потенциальная энергия связана с взаимным расположением тел в пространстве.
В общем случае тела обладают и потенциальной и кинетической энергией, сумма которых называется полной механической энергией или E = W +U. Это выражение означает, что в замкнутой системе при отсутствии сил трения полная механическая энергия остается постоянной. В этом и состоит закон сохранения механической энергии, который широко используется в современной технике.
Опираясь на этот закон можно получить величину второй космической скорости, если считать Землю и ракету замкнутой системой. Из закона сохранения полной механической энергии следует, что изменение полной механической энергии равно нулю ΔE = ΔW + ΔU. При полете ракеты с поверхности Земли (r = R) на расстояние r = ∞ изменение потенциальной энергии равно работе по перемещению ракеты в поле тяготения из точки r = R до точки r = ∞, т.е. ΔU = - γ m M з / R. Кинетическая энергия при этом изменяется от нуля до величины W = m v2 / 2. Тогда по закону сохранения энергии получим m v2 / 2 = γ m M з / R. Отсюда v = √ 2γ M з / R. Численно эта скорость равна 11 км/ с. Для более далеких космических экспедиций требуется еще большая скорость.
Если в системе тел действуют силы трения, то выполняется общий закон сохранения энергии. Согласно теории относительности полная энергия тела равна произведению массы тела m на квадрат скорости света c: E = m c2 . Эта формула говорит о том, что в любом материальном объекте сосредоточена значительная энергия, однако практическое использование этой энергии ограничено законом сохранения тяжелых частиц, являющихся основой ядер элементов. Часть полной энергии вещества может освобождаться лишь в отдельных случаях – это деление ядер или их синтез. Но в основном полная энергия остается в связанной форме. Можно только теоретически рассматривать возможности ее практического использования в данном тысячелетии.