2. Статистика малых выборок Стьюдента (t-распределение)
При
обработке данных по лабораторному
анализу вещества, использование
классической теории погрешностей,
основанной на нормальном распределении,
не всегда достаточно эффективно, так
как при этом происходит занижение
значений погрешности. Более корректно
величина погрешности определяется при
использовании статистики малых выборок,
развивающейся с начала XX
в (t-распределение
или распределение Стьюдента). Как и
нормальное распределение, t-распределение
симметрично
и
имеет
максимум при том же значении абсциссы,
при котором он был бы в распределении
Гаусса
(рисунок 6.8). Особенностью t-распределения
является то, что при f
=
кривые Гаусса и Стьюдента совпадают.
Однако такие характеристики t-
кривой как высота и ширина, зависят от
числа степеней свободы f
(числа измерений) (рисунок 6.8).
Рисунок 6.8 – Влияние числа степеней свободы f на форму кривой
t – распределения: 1) f = ; 2) f = 7; 3) f = 3.
Как
показывает рисунок 6.8, чем
меньше число степеней свободы f,
тем меньше крутизна кривой и тем медленнее
она сближается с осью абсцисс при одном
и том же стандартном отклонении.
При малых значениях f
разница между нормальным и t-распределением
весьма существенна, например, для f
=
3 и Р
= 95%
коэффициент
=
3,18
вместо 2 для нормального распределения.
Вероятную относительную погрешность среднего арифметического (относительное отклонение) рассчитывают по формуле:
.
(6.39)Как
показывает уравнение, чем больше число
определений n,
тем меньше доверительный интервал при
данной доверительной вероятности Р,
т.е. тем выше точность анализа. При
расчетах окончательный результат обычно
округляют.
3. Практическое применение статистики Стьюдента
В основе применения
метода Стьюдента – оценка отклонения
от истинного значения
(или
параметров стандарта) при малом числе
параллельных определений с использованием
поправок по t-критерию.
Значение t-критерия
находят по специальным таблицам в
зависимости от величины доверительной
вероятности Р и числа степеней свободы
f.
Величина t-критерия
определяется через значения стандартного
отклонения S
и истинное значение
по формулам:
– для
единичного измерения
(6.40)
– для среднего
результата измерения (6.41)
Для определения величины доверительного интервала и оценки точности метода необходимо рассчитать, кроме , также:
– дисперсию
конечнозначной величины
(среднее
квадратичное):
(6.42)
– стандартное
отклонение единичного измерения S
=
:
(6.43)
– стандартное отклонение среднего значения:
(6.44)
Если величину систематической погрешности можно принять за нуль, то отклонение от истинного значения не должно выходить за пределы интервала:
(6.45)
Доверительный интервал Р для истинного значения ряда измерений определяется неравенством:
(6.46)
Если истинное значение не попадает в доверительный интервал значений, рассчитанный при Р = 0,95 и заданном числе измерений n, то данная методика измерений имеет значимую неучтенную систематическую ошибку. Для единичного измерения доверительный интервал рассчитывают, исходя из истинного или теоретически предполагаемого значения :
(6.47)
Величина
называется абсолютной
точностью результатов
измерения, тогда как относительную
точность
выражают в (%) и вычисляют по формуле:
или
(6.48)
Формула (6.48) позволяет определить число измерений n, необходимых для достижения заданной точности при данном значении Р.