1.5. Аппроксимация экспериментальных данных сплайн-функцией

Полиномиальная аппроксимация и интерполяция не обеспе­чивает непрерывности производных функции Y(X) и может давать значительные погрешности в промежутках между узлами (экспериментальными точками). Кроме того, она плохо приспособлена к экстраполяции и, как правило, не обеспечивает правильное ассимптотическое поведение F(X) при изменении аргумента X за пределами интервала интерполяции. Нередко с увеличением числа узлов погрешность такой интерполяции не только не уменьшается, но и неограниченно растет.

От этих недостатков свободна аппроксимация и интерполяция с помощью сплайн-функции. Сплайн в переводе с английского языка означает "гибкая линейка". Сплайн-функцию можно трактовать как линию, плавно соединяющую узловые (экспериментальные) точки. На практике сплайн-функцию используют для вычисления промежуточных значений плавных, монотонных, таблично заданных функций, для аппроксимации функциональных зависимостей, получаемых в результате работы программ при автоматизированной обработке информации. Например, сплайн-функцией удобно аппроксимировать зависимость затрат на ТО и ремонт от периодичности профилактики при оптимизации этой периодичности.

Рассмотрим более подробно сплайн-функцию. Для взаимно зависимых величин X и Y математический сплайн – специальный многочлен, принимающий в узлах значения Y(X)=Y_i=Y(X_i) и обеспечивающий непрерывность в них производных. Обычно достаточно обеспечить непрерывность первой и второй производных, для чего приемлемо использовать сплайн-многочлен третьего порядке (кубический сплайн).

Для каждого отрезка (X_i, Y_i+1) изменения X кубическая сплайн-функция записывается в виде:

F_t(X)=1/(6*H_i)*[M_i*(X_i+1-X)³+M_i+1*(X-Xi)³)]+1/H_i*[(Y_i-((M_i*H_i²)/6)*(X_i+1 --X)+(Y_i+1 - ((M_i+1*H_i²)/6)*(X-X_i)], (1.5)

где H_i= X_i+1- X_i;

F_i(X) =Y(X);

M_i=F ''(X_i);

i = 1, 2, 3, …, n (n – число узлов).

При известных X_i, Y_i, M_i эта формула дает сплайн-аппроксимацию.

Ниже приведен пример расчета по данной программе.

Пример 1.5. Рассчитано несколько промежуточных значений зависимости затрат на ТО и ремонт от периодичности и профилактики. Требуется аппроксимировать полученные точки сплайн-функцией.

Lто, тыс.км.	6	8	10	12	14	16	18	20
Сто, т.р.	6	5	4	4	5	5	8	10

Коэффициенты сплайн-функции:

М₁= 0.0;

М₂ = - 0.076778;

М₃ = 0.303111;

М₄ = 0.348334;

М₅ = - 0.200447;

М₆ = 0.453452;

М₇ = - 0.113363;

М₈ = 0.0.

При X = 6 Y = 6.

При X = 15 Y = 5.436749.