6 Динамический анализ механизмов

Цель занятия – освоение методики динамического анализа механизмов.

В динамике механизмов широкое применение находит метод приведения сил и масс для решения задач об определении закона движения механизма, находящегося под действием приложенных к нему сил, с учетом масс звеньев. Это позволяет свести динамическую задачу о движении всей системы подвижных звеньев механизма к задаче о движении одного звена, которое называется звеном приведения . За звено приведения обычно принимают звено, которое совершает вращательное движение относительно стойки. Обычно это ведущее звено, а его координата относительно стойки является обобщенной координатой механизма.

Приведенной силой (или приведенным моментом) называют условную силу, которая, будучи приложенной к звену приведения, совершает на ее возможном перемещении ту же работу, что и все приложенные к механизму силы на их возможных перемещениях. Вместо понятия работы можно оперировать понятием мощности.

Приведенной массой называется условная масса, сосредоточенная на звене приведения, кинетическая энергия которой равняется сумме кинетических энергий тех звеньев, массы и моменты инерции которых приводятся к этой точке. В случае вращательного движения звена приведения пользуются понятием приведенного момента инерции.

В теории установлено, что приведенная масса и приведенный момент инерции зависят от отношений квадратов скоростей ведомых звеньев и звена приведения. Но отношения скоростей для каждого конкретного механизма зависят только от его положения, т. е. являются функцией от обобщенной координаты. Для зубчатого механизма с постоянным передаточным отношением это отношение вообще является постоянной величиной.

Рассмотрим это на примере рядового зубчатого механизма (рисунок 14). Требуется найти приведенный к валу О₁ момент М_пр и приведенный к тому же валу момент инерции I_{п р} от массы колеса 3, если к колесу 3 приложен момент М₃ = 4 Нм, а момент инерции колеса относительно его оси вращения I₃ = 0,04 кгм², числа зубьев колес Z₁ = 20 и Z₃ = 60.

Рисунок 14  Приведение момента силы и момента инерции в рядовом зубчатом механизме

При решении задачи следует воспользоваться следующими формулами:

М_пр = М₃ ω ₃ / ω₁ ;

I_пр = I₃ ( ω₃ / ω₁ )² .

Следующим шагом при решении динамической задачи является составление и решение уравнения движения звена приведения.

Уравнение движения в дифференциальной форме для вращающегося звена приведения выглядит следующим образом:

I_пр ε + ω² /2 ( dI_пр / dφ ) = М_дв  М_с,

где φ, ω, ε – соответственно угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение звена приведения;

М _дв – приведенный момент движущих сил;

М_с - приведенный момент сил сопротивления;

I_пр – приведенный момент инерции механизма.

Если приведенный момент инерции Iпр постоянен, то уравнение движения упрощается:

I_пр ε = М_дв - М_с.

Решение дифференциальных уравнений относится к компетенции математики. Во многих случаях можно воспользоваться некоторыми простыми решениями.

Рассмотрим следующий пример.

На рисунке 15 представлена схема колодочного тормоза. Диск, вращающийся с угловой скоростью ω, затормаживается силой трения, возникающей при приложении к рычагу силы Р. Требуется установить время и число оборотов до полной остановки диска.

Рисунок 15  Колодочный тормоз

Пусть I_пр = 0,4 кгм² ; Р = 20 Н ; f = 0,2; R = 0,1м; ω = 100 рад/с.

К диску приложен тормозной момент:

M_тр = F_тр R = f N R = f 2 P R = 0,8 Н м .

С учетом того, что I_пр = const, уравнение запишется так:

I_пр ε = М _пр,

где М_пр = - М_тр .ε = const, имеет место равноускоренное движение.

Перепишем уравнение, разделив переменные и проинтегрировав. Опуская элементарные преобразования, в итоге получим уравнение

ω = (М_пр / I_пр) t + C₁,

где С₁  постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: при t = 0, ω = ω₀, тогда С₁ = ω₀ .

После интегрирования уравнения получим

φ= (М_пр / I_пр) t² / 2 + ω₀ t + C_2,

где С₂  постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: при t = 0, φ₀ = 0, тогда С₂ = φ₀ .

Из последнего уравнения можно определить время до полной остановки:

0 = - (0,8/ 0,4) t + 100 → t = 50 c .

Из того же уравнения находится угол поворота диска до полной остановки:

φ = - (0,8 / 0,4) 50² / 2+ 10050 = 2500 рад = 398 об .

Контрольные вопросы

1 Что такое звено приведения ?

2 Что такое приведенная сила, приведенная масса, приведенный момент инерции?

3 Запишите дифференциальное уравнение движения механизма c постоянным приведенным моментом инерции.

4 Каким методом можно решить это дифференциальное уравнение движения механизма с постоянным моментом инерции?

5 Что такое постоянные интегрирования и из каких условий они определяются?