Параметрические

Рассматривают временной ряд как гладкую функцию от t: Xt = f(t),t = 1…n;. При этом сначала выявляют один либо несколько допустимых типов функций f(t); затем различными методами (например, МНК) оценивают параметры этих функций, после чего на основе проверки критериев адекватности выбирают окончательную модель тренда. Важное значение для практических приложений имеют линеаризуемые тренды, то есть тренды, приводимые к линейному виду относительно параметров использованием тех или иных алгебраических преобразований.

Непараметрические

Это разные методы сглаживания исходного временного ряда — скользящие средние (простая, взвешенная), экспоненциальное сглаживание. Эти методы применяются как для оценки тренда, так и для прогнозирования. Они полезны в случае, когда для оценки тренда не удается подобрать подходящую функцию.

5.7. Периодограмма и спектрограмма

Периодограмма — оценка спектральной плотности мощности (СПМ), основанная на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье последовательности данных с использованием статистического усреднения:

 — преобразование Фурье функции на конечном временном интервале,  — интервал финитности,  — оператор статистического усреднения (математическое ожидание). Если при расчёте СПМ используется весовая функция (окно), то полученная оценка СПМ называется модифицированной периодограммой. Периодограмма не является состоятельной оценкой СПМ, поскольку дисперсия такой оценки сравнима с квадратом её математического ожидания. С ростом числа используемых отсчётов значения периодограммы начинают всё быстрее флуктуировать.

  Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные, годовые и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются модели сезонных волн. Например, в следующем виде:

 где k — определяет гармонику тригонометрического многочлена,

t — время.

T — объем выборки.

Целью гармонического анализа является выявление и измерение периодических колебаний во временных ряда. Это уравнение представляет собой ряд Фурье. Обычно высчитывают не более четырех гармоник.

Введем понятия частота  и период  k-й гармоники

Будем строить регрессоры из функций вида  и  в соответствие с вышеуказанной идеей — т.е. необходимо построить T линейно независимых регрессоров.

На практике описанное выше представление очень громоздко, пользоваться им нельзя. Оно нужно для того, чтобы построить т.н. спектрограмму. Сначала ищутся оценки всех коэффициентов в сумме. Тогда значения спектрограммы  Спектрограмма — это график r_k относительно частот.

Пики спектрограммы соответствуют частотам, вносящим наиболее яркий и значимый вклад в прогноз. Наибольшая частота на графике спектрограмме всегда = ½, это максимальная частота, различимая при дискретных по времени наблюдениях.

Спектрограмма позволяет связать теорию рядов Фурье с практикой прогнозирования. Она дает возможность оценить те частоты, которые вносят наибольший вклад, т.е. аппроксимировать громоздкую сумму разложения Фурье. Иногда ее удается сократить до 2-3 слагаемых.

Замечание: на графике спектрограммы следует выделить не только частоты, соответствующие пикам, но и близкие к ним частоты. В соответствии с общей методологией анализа лучше сначала взять больше частот, чем нужно, а затем исключить избыточные.