0.3.1. Вероятностные характеристики случайных переменных

Опред-е ф-и плотности вероятности F(x) – Ф-я, кот для любого интервала [x₁, x₂] на 0_х позволяет опред вероятность того, что случ переменная х находится в этом интервале.

Р(х₁≤x≤х₂)=

Матожидание случ величины - срвзвешенного знач данной случ величины: Для Д. с/в – М (х) (в зап.уч.- Е (х) ):

М(х)=

Для Н. с/в:

М (х)= - не собственный интеграл.

Свойства:

1.М(const)= const

2.M(aX+b)=aM(X)+b, a,b- const;

3.M(X+Y)= M(X)+M(Y), X,Y- независ случ переменные;

4.M(X*Y) = M(X)*M(Y), X,Y- независ случ переменные.

Дисперсия - отражает относительно, разброса случайной величины относительно среднего значения (рассеяние около среднего значения)

Для Д. с/в:

Д(х)=(х–М(х))²= ²p_i;

Для Н. свойств:

Д(х)= ²

Свойства Д (Х):

1.Д (а)=0;

2.Д (Х+У) =Д (Х)+Д (У);

3.Д (аХ) =а²Д (Х)

4.Д(Х) = М(Х²) – [М(Х)]²

Момент первого порядка есть среднее значение (мат ожид) случайной величины Момент 2-го порядка есть ср кв случайной величины.

Часто используется так называемое сркв-ое значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из сред. квадрата случайной величины:

Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины x0=х-х~, где х~ —среднее значение.

Если х — случ величина, а х~ — ср значение этой величины, то величина х-х~ есть отклонение случ величины от ее ср значения. Это отклонение является случ величиной, как и сама величина х.

Ср. отклонением А называется ср. значение (мат ожидание) абсолютной величины отклонения.

Ср отклонение случайной величины яв-ся уже не случайной величиной, а обычным числом.

Простейшие св-ва среднеквадратичных отклонений.

1.При сложении независ случ величин Д складываются:

Поэтому срквад-ое отклонение суммы независ случ величин

2. Пусть имеется п случ величин с одинак ср знач. а; и с одинак-ми законами распределения. Тогда их ср арифм-е тоже будет случ. величиной с тем же самым ср знач-ем но срквад-ое отклонение его будет в раз меньше, чем для каждой из составляющих (в случае независ случ величин):

Н-р, если произ-ся п измерений одной и той же физич велич, то их ср ариф-ое, хотя тоже яв-ся случ велич-ой, но всегда надежнее (имеет меньшее сркв-ое отклонение), чем каждое измерение в отдельности. Здесь случ ошибки измерения в известной мере компенсируются. Но надо помнить, что систематич-е ошибки приборов при этом ост-ся в полной мере в составе ср ариф-го и никакой массовостью измерений скомпенсированы быть не могут.

3. Для п случ величин, независ и имеющих одно и то же ср значение х~, ср ариф-ое будет при достаточно большом п как угодно мало отличаться от среднего значения х~ (с вер-ю, как угодно близкой к единице). Замечание в скобках означает, что это практически достоверно, но не абсолютно, потому что ср ариф-ое есть все же случ величина. Т.о, при большом п и указанных условиях

Этот закон больших чисел, доказанный П. Л. Чебышевым, имеет первостепенное значение для обработки экспер-х данных и для учетной статистики.

Введем теперь понятие интегрального закона распределения. Интегральным законом распределения или ф-ей распред-я наз-ся вероятность того, что случ величина примет значение, меньшее некоторого значения х.