§13. Сопряжённые однородные интегральные уравнения

§23. Перед тем, как перейти к исследованию неоднородного интегрального уравнения при , рассмотрим однородное интегральное уравнение

(42) (13.1)

которое называется сопряженным к интегральному уравнению (26) ( )

Заметим, что ядро сопряженного уравнения получается из первоначального ядра перестановкой аргументов и . Между решениями уравнений (42)(13.1) и (26)( ) существует важное соотношение. Прежде чем вывести его, вычислим определитель и миноры Фредгольма для ядра мы будем употреблять для них соответствующие обозначения с чертой наверху.

а) Выпишем определитель Фредгольма для сопряженного ядра

где

Сообразно с этим получаем

где =

Но Поэтому

.

Определитель, стоящий под знаком интеграла в , отличается от аналогичного определителя, входящего в , лишь тем, что в нем строки и столбцы переставлены. Но, как известно, эта перестановка не меняет величины определителя. Поэтому и, следовательно,

(43)(13.2)

Отсюда мы заключаем, что и имеют одни и те же собственные значения.

Б) Миноры Фредгольма для сопряженного ядра.

Согласно формуле (30)(10.8)

,

где определяется формулой (28)(10.6). Аналогично этому для получаем выражение

.

Но

.

Переставляя в определителе, стоящем в подынтегральном выражении, строки и столбцы, что не изменит величины этого определителя, получаем

.

Сопоставляя это выражение с формулой (28)(10.6), определяющей , убеждаемся в том, что

,

поэтому

(44)(13.3)

Так как есть собственное значение ядра ранга q, то для значений p от 1 до q-1 имеем

, p = 1,…,q-1, тогда как .

Отсюда согласно тождеству (44)(13.3) получаем, что при p = 1,…q-1

.

Если мы далее положим

, (45)(13.4)

то будем иметь

.

Отсюда следует согласно определеию, что , рассматриваемое как собственное значение ядра K(x,t), имеет ранг , равный q. Мы запишем этот результат в виде следующей теоремы:

Теорема IX. Если есть собственное значение ядра K(x,t) с рангом q, то является также собственным значением ядра K(x,t) c тем же рангом .

в) Собственные функции сопряженного уравнения.

Применяя теперь теорему VIII к уравнению (42)(13.1), мы находим, что оно также имеет q линейно независимых решений. И фундаментальная система этих решений дается формулами

которые после выполнения замены обозначений (45)(13.4) примут вид

Наиболее общее решение уравнения (42)(13.1) будет теперь

.

г) Функция для сопряженного ядра.

Согласно данному выше определению функции имеем

Применяя тождество (44)(13.3) и производя замену обозначений (45)(13.4), получаем

Вследствие этого соотношение (41)(10.19),написанное для ядра после замены обозначений (45)(13.4) примет вид

Д) Теорема об ортогональности

Теорема. !!!...

§14. Решение неоднородных интегральных уравнений для случая, когда D(λ)=0. Третья фундаментальная теорема Фредгольма

Опираясь на результаты изложенные в §§7-11 можем сформулировать третью фундаментальную теорему Фредгольма.

Теорема 8. Если есть собственное значение ядра ранга q, то неоднородное интегральное уравнение

(51) (12.1) (14.1)

вообще говоря, не имеет непрерывного решения. Для того чтобы существовало непрерывное решение, необходимо выполнение условий

(53)(12.2)(14.2)

и функции образуют полную систему собственных функций сопряжённого однородного уравнения

(14.3)(13.1) (12.3)(42)

Если эти условия выполняются, то существует решений, определяемых формулой

(12.4)(14.4)

_где произвольные постоянные,

_{система собственных функций однородного уравнения}

(26)(10.1)

где определяется формулой

((40)(12.5) (14.5)

Собственные функции сопряжённого однородного уравнения определяются формулами

(12.6)(14.6)

где

!!!.... Пример 9. Найти решение интегрального уравнения

!!!....

_{Решение.}

_{!!!...Далее дадим строгое доказательство третьей фундаментальной} теоремы Фредгольма. С помощью результатов, полученных в предыдущем параграфе, мы можем теперь полностью завершить решение неоднородного интегрального уравнения

(51)

А именно рассмотреть случай, когда и имеет ранг .

Конечная система линейных алгебраических уравнений

( )

в качестве предела которой может рассматриваться интегральное уравнение (51), при , вообще говоря, не имеет никакого конечного решения. Если, однако, величины удовлетворяют определенным условиям, то эта система имеет бесконечную совокупность конечных решений. Аналогично этому мы найдем, что и уравнение (51) в случае, когда , вообще говоря, не имеет никакого решения, но что, однако, если удовлетворяет определенным условиям, то уравнение (51) имеет бесконечную совокупность решений.

а) Необходимые условия. Для того, чтобы получить необходимые условия, которым должна удовлетворять функция , поступим следующим образом. Предположим, что есть непрерывная функция от , удовлетворяющая уравнению (51). Помножим обе части этого уравнения на функцию , являющуюся собственной функцией сопряженного однородного уравнения, принадлежащей собственному значению :

и проинтегрируем по x от a до b. Мы получим тогда:

(52)

В последнем интеграле, стоящем в правой части, функцию можно рассматривать как постоянную относительно t и поэтому внести под знак внутреннего интеграла. Если мы переменим затем порядок интегрирования и вынесем () за знак интеграции по переменной x, то последний член равенства (52) примет вид

Таким образом, первый и второй члены в правой части взаимно уничтожаются, откуда

(53)

Значит, для того чтобы могло существовать непрерывное решение u(x) уравнения (51), функция f(x) должна удовлетворять q условиям (53).

б) Доказательство достаточности. Покажем теперь, обратно, что если удовлетворяет q условиям (53), то уравнение (51) действительно имеет непрерывное решение. Согласно нашему предположению имеют место q равенств (53) В таком случае

Но выражение не зависит от и может поэтому быть помещено под знаком интеграла. Меняя порядок суммирования и интегрирования, что мы имеем право делать, получаем:

Ч

(54)

то вследствие формулы (47) равносильно уравнению

Последний член можно переписать в виде

Что после замены и на и примет вид

или

В

(55)

нося это выражение в уравнение (54) и соединяя первый член с последним, получаем:

Если мы теперь положим

То получим:

И уравнение (55) перейдет в

Неоднородное интегральное уравнение

Т

(56)

аким образом, мы доказали, что если удовлетворяются условия (53), то уравнение (51) имеет по крайней мере одно решение , а именно определяемое формулой

в

(57)

) Нахождение всех решений. Предположим, что уравнение (51) имеет еще какое-нибудь другое непрерывное Тогда разность будет являться решением однородного уравнения

Д

(58)

ействительно, вычитая почленно (56) из (51), получаем:

По теореме VIII общее решение уравнения (57) имеет вид

где - произвольные постоянные. Поэтому общее решение уравнения (58) будет:

и значит,

будет общим решением уравнения (51). Таким образом, мы доказали третью фундаментальную теорему Фредгольма.