- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом последовательных приближений
- •§3. Уравнения с вырожденными ядрами
- •§4. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью ряда Неймана
- •§5. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Фредгольма
- •§6. Решение линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом последовательных подстановок
- •§7. Уравнение Фредгольма как предел системы конечного числа линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные соотношения Фредгольма
- •§8. Доказательство сходимости рядов Фредгольма
- •§9. Решение интегрального уравнения, данное Фредгольмом при . Первая фундаментальная теорема Фредгольма
- •20…§10. Решение однородных интегральных уравнений. Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •Вторая фундаментальная теорема Фредгольма
- •И их вычисление
- •§12. Вычисление собственных значений и собственных функций по методу Келлога
- •§13. Сопряжённые однородные интегральные уравнения
- •§23. Перед тем, как перейти к исследованию неоднородного интегрального уравнения при , рассмотрим однородное интегральное уравнение
- •§15. Теорема Адамара
- •§16. Обзор других методов решения. Приближённые методы решения
- •§16. Задачи для самостоятельного решения
- •Примерный вариант тест-контрольной работы
- •Литература
- •Оглавление
- •Тест-контрольная по интегральным уравнениям Вольтерра
- •1 Вариант
- •9.Записать решение уравнения, если резольвента ядра известна
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант
- •Вариант теста по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Ответы к тестам по интегральным уравнениям Вольтерра
- •Блок1. Интегральные уравнения Вольтерра
§16. Обзор других методов решения. Приближённые методы решения
§16. Задачи для самостоятельного решения
I. Проверить являются ли данные функции решением интегральных уравнений:
64. , . Ответ: да.
65. , Ответ: да.
66. , Ответ: да.
67. ,
Ответ: да.
68. , Ответ: нет.
69. Ответ: нет.
70. Ответ: да.
71.
Ответ: да.
72. где произвольная постоянная,
Ответ: да.
II.Решить интегральные уравнения Фредгольма методом последовательных приближений:
Методом последовательных приближений решить следу ющие интегральные уравнения:
319.
320. 321.
322.
a) б)
Метод последовательных приближений
323.
a) б) в)
324.
325.
a) б)
326.
a) б)
327.
Метод последовательных приближений решить уравнение
!!!...335.
K(x,t)=
336.
K(x,t)=
III. Решить интегральные уравнения Фредгольма методом для вырожденных ядер если , где не даны ответы, сделать проверку:
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 25.
26. 27. 28. 29.
111. . Ответ:
112. . Ответ:
113. . Ответ:
114. . Ответ:
115. .
118. . Ответ:
119. . Ответ:
120. . Ответ:
121.
Ответ:
122. .
!!!.... IV. Найти итерированные ядра указанных ниже ядер при данных a и b.
92. K(x,t)=x-t; a=-1, b=1.
93. K(x,t)=sin(x-t); a=0, b= , (n=2,3)
94. K(x,t)=(x-t)2; a=-1, b=1, (n=2,3)
95. K(x,t)=x+sin(t); a=-π, b=π.
96. K(x,t)=xet; a=0, b=1.
97. K(x,t)=excos(t); a=0, b=π.
В следующих задачах найти K2(x,t):
98. K(x,t)=e|x-t|; a=0, b=1.
99. K(x,t)=e|x|+t; a=-1, b=1.
IV. Решить интегральные уравнения Фредгольма вычислив итерированные ядра и резольвенту:
!!!...... С помощью резольвенты решить следующие интегральные уравнения:
87.
88.
89.
90. x-t x
91. 2
V. Пользуясь определителями Фредгольма, найти резольвенты следующих ядер:
77.
Ответ:
78.
Ответ:
79.
80.
Ответ:
!!!.....Используя рекуррентные соотношения (8) и (9), найти резольвенты следующих ядер:
81. K(x,t)=x+t+1;
82. K(x,t)=1+3xt;
83. K(x,t)=4xt-x2;
84. K(x,t)=ex-t;
85. K(x,t)=sin(x+t);
86. K(x,t)=x-sh(t);
Построить резольвенты для следующих ядер:
100. K(x,t)=ex+t; a=0, b=1.
101. K(x,t)=sin(x)cos(t); a=0, b= .
102. K(x,t)=xet; a=-1, b=1.
103. K(x,t)=(1+x)(1-t); a=-1, b=0.
104. K(x,t)=x2t2; a=-1, b=1.
105. K(x,t)=xt; a=-1, b=1.
VI. Вычислить и для уравнения Фредгольма со следующими ядрами и пределами интегрирования:
1.
Отв.
2.
Отв.
3.
Отв.
4.
Отв.
5.
Отв.
6.
Отв.
7.
Отв.
8.
Отв.
9.
Отв.
10.
Отв.
V II. Решить интегральные уравнения Фредгольма вычислив и
V III. Решить следующие однородные интегральные уравнения:
18.
22.
19.
23.
20.
24.
21.
IХ. Найти характеристические числа и собственные функции для следующих однородных интегральных уравнений с вырожденным ядром:
123. . Ответ:
124. . Ответ: нет.
125. . Ответ:
126. . Ответ:
127. . Ответ: действительных нет.
128. , Ответ: 129. . Ответ:
130. . Ответ:
131. . Ответ:
132. . Ответ: нет.
133. Ответ: действительных нет.
По методу Келлога найти наименьшие характеристические числа следующих ядер:
347. K(x,t) = xt;
348. K(x,t )=
349. K(x,t) =
350. K(x,t) =
Х. Решить неоднородные интегральные уравнения:
11.
15.
12.
16.
13.
17.
14. 165.
166. ,
K(x,t)=
167.
K(x,t)=
168.
K(x,t)=
169.
K(x,t)=
170.
K(x,t)=
171.
K(x,t)=
172.
K(x,t)=
173.
K(x,t)=
174.
Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра следующие интегральные уравнения:
175. .
176. .
177. .
178. .
179. .
180. .
181. , где
K(x, t) =
182. .
183. .
184. .