20…§10. Решение однородных интегральных уравнений. Вторая фундаментальная теорема Фредгольма

Рассмотрим сначала случай для однородного уравнения

(26) (10.1)

если и или Пусть будет значение , для которого

(25) (10.2)

Будем решать теперь однородное интегральное уравнение (10.1) для этого частного значения параметра

. (26)

Решение уравнения мы получим с помощью первого фундамен­тального соотношения (7.11)(19) Фредгольма, которое имеет место для всех значений и, следовательно, для . При этом значении параметра формула (19)(7.11) переходит, по (25)(10.2), в

.

Это равенство имеет место для всех значений в промежутке , значит, в частности, и для

.

Но это и есть как раз уравнение ( )(26), где заменено на . Таким образом, мы видим, что есть решение уравнения )(26). Более того, это решение непрерывно, так как ряд сходится равномерно относительно и и его члены непрерывны. Но может быть тождественно равно нулю для всех либо при специальном выборе значения — и в этом случае мы можем взять какое-нибудь другое значение для , при котором этого тождественного обращения в нуль уже не будет, — либо если для всех и и в этом слу­чае приведенное решение сводится к тривиальному , незави­симо от выбора . Таким образом, мы доказали следующую тео­рему.

Теорема 6. Если и , то функция при надлежащем выборе значения будет непрерывным решением уравнения не равным тождественно нулю.

В только что установленной теореме условие

можно заменить условием . Это можно доказать используя следующую формулу

. (27)(10.3)

Для доказательства этой формулы представим и в виде степенных рядов

,

где определяется формулой(8.2) (15). Отсюда

.

В полном выражении для

вместо подставим .

Тогда будем иметь

Меняя здесь порядок интегрирования, а именно интегрируя сперва по , получаем

,

что согласно формуле(8.4) (17) переходит в

,

так как

Поэтому

.

Но

есть ряд, равномерно сходящийся относительно . Поэтому мы мо­жем в выражении для переменить порядок суммирования и интегрирования и написать

.

Умножая обе части этого равенства на и принимая во внимание формулу (8.3) (16), убеждаемся в том, что действительно

. (10.3)(27)

Предположим теперь, что и . Тогда, во всяком случае, , так как . Поэтому, если мы положим в формуле (10.3) (27) , то правая часть этого равенства будет от­лична от нуля, а значит, и левая часть не будет равна нулю. Из этого вытекает, что и, следовательно, . Значит, действительно условие в теореме V можно заменить условием

Заметим далее, что если есть решение одно­родного интегрального уравнения (26), то , где есть произ­вольный постоянный множитель, также является решением этого урав­нения. Таким образом, имеется бесчисленное множество решений, отличающихся друг от друга только постоянным множителем. Это находится в полной аналогии с положением дел для конечной си­стемы линейных алгебраических уравнений

с определителем . Действительно, если , причем по крайней мере один из первых миноров не равен нулю, то эти уравнения определяют единственным образом отношение величин , т. е. . Но равенство соот­ветствует обращению в нуль, а неисчезновение по край­ней мере одного из первых миноров соответствует условию .

Пример 6. Найти решение интегрального уравнения

!!!....

_{Решение.}

Опираясь на исследование и решение уравнений Фредгольма, как предела системы конечного числа линейных алгебраических уравнений, можно сформулировать теперь вторую, а затем и третью фундаментальные теоремы Фредгольма.