§15. Теорема Адамара

Для строгого обоснования результатов параграфа !!!... нам нужна теорема Адамара. При доказательстве этой теоремы мы будем опираться на следующую лемму.

Лемма. Если все элементы a_ik определителя

(15.1)

вещественны и удовлетворяют условиям

a²_r1+a²_r2+…+a²_rn=1, r = 1,2,…,n, (12)(15.2)

то

Приведем сначала два частных случая этой леммы, допускающих геометрическую интерпретацию.

1. . Параллелограмм OP₁P₃P₂ (черт. 2) имеет вершину O в начале прямоугольной системы координат. Координаты вершин P₁ и P₂ обозначены на чертеже. Площадь параллелограмма OP₁P₃P₂ выражается формулой

Если OP₁ = 1, OP₂ = 1, т.е. если

то геометрически очевидно, что наибольшая площадь получится, когда наш параллелограмм обратится в прямоугольник, причем в этом случае она будет равна 1. Поэтому вообще .

2. . Одна вершина параллелепипеда OP₁P₂P₃ (черт. 3) находится в начале прямоугольной системы координат.

Координаты вершин P₁, P₂, P₃ обозначены на чертеже. Объем параллелепипеда OP₁P₂P₃ выражается формулой

.

Если , т.е. если

,

то геометрически очевидно, что объем будет наибольшим, когда параллелепипед станет прямоугольным, причем в этом случае объем будет равен единице. Поэтому вообще .

Доказательство леммы. есть функция от аргументов , непрерывная в области U, ограничена и замкнута. Поэтому в этой области определитель имеет максимум и минимум. Эти максимум и минимум, которые мы хотим определить, представляют собой так называемые абсолютные максимум и минимум. По если некоторая система значений дает абсолютный максимум (минимум) для , то она дает также и относительный максимум (минимум). Поэтому для определения последнего могут быть применены обыкновенные методы дифференциального исчисления.

Теперь, если функция от переменных, связанных с различными соотношениями

, , …,

принимает максимальное или минимальное значение, то первых частных производных от вспомогательной функции

,

где постоянные числа, должны обратиться в нуль.

В данном случае ,

и, значит, вспомогательная функция имеет вид

.

По только что приведенной теореме в точке, в которой имеет максимум (минимум), должны выполняться соотношения

или

, ¹, (13)(15.3)

где обозначает алгебраическое дополнение элемента в определителе . Помножим обе части этого уравнения на и просуммируем по от 1 до . Так как , то мы получим

.

или ,

Подставим в уравнение (13)(15.3) вместо λ_j эти значения; тогда мы будем иметь и поэтому определитель

сопряженный с А, будет равен

Первый из этих определителей равен A­­^n-1 [Курош А.Г. Курс высшей алгебры ], а второй, как это нетрудно вычислить, приводится к Аⁿ⁺¹. Поэтому

Аⁿ⁺¹=A^n-1.

Так как этому уравнению должны удовлетворять и максимум и минимум определителя, то значит, максимум определителя А равен +1, а минимум равен -1 и, следовательно, |A| .

Теорема Адамара. Теперь мы можем доказать более общую теорема Адамара.

Если элементы b_jk определителя

В=	_______	A11	A12	…	A1n	_______
		A21	A22	…	A2n
		…	…	…	…
		An1	An2	…	Ann

Вещественны и удовлетворяют неравенствам

|b_jk|=| ,

то

|B|| ^{n n}.

Доказательство: Пусть

b²_i1+b²_i2+…+b²_in=s_i, (i=1,2,…,n).

Случай I. Одна или несколько из величин s_i обращается в нуль, например s_k=0. Тогда b_ki=0 (i=1,2,…,n), следовательно, также и В=0, и теорема в этом случае доказана.

Случай II. Ни одна из величин s_i не равна нулю. Тогда каждое s_i положительно, т.е.

s₁>0, s₂>0,…, s_n>0.

Рассмотрим теперь определитель

	=	_______		…		_______
			…	…	…
				…

В нем

²+…+ ²=1 (i=1,2,…,n),

и, значит, он удовлетворяет условиям леммы. Поэтому

|B| .

Но так как |b_ik| M, то из равенства

s_i=b²_i1+b²_i2+…+b²_in.

вытекает, что

s_i nM² (i=1,2,…,n).

Поэтому

|B| M^{n n}_.