Средняя и средняя квадратичная проекции скорости

Средняя проекция скорости

.

Гамильтониан зависит от квадрата скорости, поэтому направления по- и против оси x равноправные.

Средняя квадратичная проекция скорости

, (2.42б)

где

.

Доказательство:

Подставляем (2.42а)

,

находим

,

где использовано

,

, , .

Распределение в сферических координатах

В распределении (2.41)

переходим от декартовых координат к сферическим. Заменяем

,

,

.

Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале от v до (v+dv), движущуюся в интервале углов от (, ) до (+d, +d)

, (2.43)

где – концентрация частиц со скоростями от (v, , ) до (v+dv, +d, +d); n – концентрация частиц со всеми скоростями.

Распределение по модулю скорости

Интегрируем (2.43) по углам, учитывая :

(2.44)

– вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до ,

(2.44а)

– функция распределения по модулю скорости – относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около ;

dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до ;

– концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.

Условие нормировки

,

площадь под кривой – единица.

С ростом температуры максимум распределения понижается, кривая сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, площадь под кривой сохраняется.

Наиболее вероятная скорость

Максимум функции распределения

,

с учетом функции (2.44а)

соответствует наиболее вероятной скорости

(2.45)

Средняя скорость

Из теории вероятности

.

Подставляем (2.44а)

,

находим

. (2.46)

При вычислении использовано

,

, , .

Средняя квадратичная скорость

Используя

.

аналогично находим

. (2.47)

Распределение по энергии

В распределении по модулю скорости (2.44)

заменяем

, , ,

где ε – кинетическая энергия частицы. Получаем

, (2.48)

где функция распределения Максвелла по энергии

(2.48а)

– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;

– концентрация частиц с энергией от ε до e + de;

– концентрация частиц с энергией в единичном интервале около .

Выполняется нормировка

, .

Площадь под кривой – единица;

с ростом Т максимум понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией.