Формула Больцмана

Объект. Газ в однородном поле тяжести. Сила mg действует на частицу вниз. Тепловая энергия раскидывает частицы по разным высотам. Концентрация уменьшается с высотой z.

Количественное описание. Потенциальная энергия частицы

,

где m – масса частицы. Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана

, (П.6.1)

– концентрация при .

Если N частиц заполняют цилиндр 0  z <  с поперечным сечением S, тогда вероятность обнаружить частицу в интервале

, (П.6.2)

где

.

Получаем концентрацию при

,

и около точки z

.

При находим , где – основание неперовых логарифмов.

Площадь под кривой

.

Среднее положение частицы

,

где использовано

, (5.6.2)

,

.

Число частиц в цилиндре

.

Средняя потенциальная энергия частицы с учетом равна

.

Этот результат следует также из теоремы (2.38) и (2.39) о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы

,

.

Для потенциальной энергии подставляем .

Частные значения. При T = 300К для воздуха  = 29 кг/кмоль получаем . Число частиц в столбе воздуха с единичным поперечным сечением выражаем через давление . Для Р = 760 мм р.с. находим

.

Концентрация молекул у поверхности земли – число Лошмидта

.

Газ в центрифуге

Объект. Центрифуга – цилиндрический сосуд с газом радиусом R, длиной образующей H, вращается вокруг оси с угловой скоростью . В системе отсчета сосуда на молекулы действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. В результате концентрация газа увеличивается с удалением от оси.

Количественное описание. В системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом, центробежная сила

создает потенциальную энергию. Используем

,

,

находим потенциальную энергию частицы массой m, находящейся на расстоянии r от оси:

.

Распределение Больцмана (2.55)

в цилиндрических координатах

,

дает

.

Интегрируем по z и φ, и получаем вероятность нахождения частицы в цилиндрическом слое радиусом r толщиной dr

(П.6.2)

Вероятность найти частицу в единице объема на расстоянии r от оси

,

где объем цилиндрического слоя радиусом r толщиной dr

.

Концентрация частиц

,

где N – число частиц в центрифуге. Учитывая (П.6.2), получаем

, (П.6.3)

где

– концентрация на оси вращения;

– увеличивается при удалении от оси.

Условие нормировки на число частиц

с учетом (П.6.3) дает

. (П.6.4)

Ориентационная поляризация диэлектрика

Объект. Молекула полярного диэлектрика (например, H₂S) имеет электрический дипольный момент с модулем , где q – модуль заряда иона; l – расстояние между ионами. Диполи разных молекул направлены по всем направлениям. Внешнее электрическое поле поворачивает диполи и устанавливает их вдоль поля, возникает ориентационная поляризация. Тепловое движение разбрасывает направления диполей. Средняя проекция дипольного момента на направление поля определяет поляризацию диэлектрика, т. е. дипольный момент единицы объема.

Количественное описание. В однородном электрическом поле Е, направленном по оси z, потенциальная энергия диполя

.

Доказательство:

Электрическое поле направлено в сторону быстрейшего убывания потенциала. В однородном поле на рисунке потенциал точки z

.

Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны оси z

.

Для заряда q потенциальная энергия

,

тогда энергия диполя

,

где

, .

Для получения средней проекции дипольного момента используем распределение Больцмана (2.55)

.

Выбираем сферические координаты с осью z, направленной по полю, тогда

.

Потенциальная энергия не зависит от радиуса. Интегрируем (2.55) по радиусу и получаем

,

где элемент телесного угла

.

Потенциальная энергия не зависят от угла φ. Интегрируем по φ

,

,

.

Упрощаем выражения, вводя:

– относительная энергия взаимодействия,

,

.

Получаем

.

Используем

,

находим функцию распределения ориентаций дипольного момента

. (П.6.5)

Средняя проекция дипольного момента

.

Интегрируем по частям

, , ,

.

Получаем

, (П.6.6)

где L(a) – функция Ланжевена.

В слабом поле

, ,

разлагаем в ряд

,

получаем

, ,

,

где ориентационная поляризуемость обратно пропорциональна температуре.

В сильном поле

, ,

,

,

– все диполи ориентированы по полю, как показано на рисунке. Возникает насыщение намагниченности.

Поль Ланжевен разработал статистическую теорию парамагнетизма в 1905 г. и получил результат, аналогичный (П.6.6).

Петер Дебай применил в 1911 г. статистический метод Ланжевена для поляризации диэлектриков и назвал функцию (П.6.6) именем Ланжевена.

В честь Дебая названа внесистемная единица электрического дипольного момента

1 Д (дебай) = 110^–18 ед. СГС = 3,3356410^–30 Клм.

Поль Ланжевен (1872–1946) Петер Дебай (1884–1966)