Время выхода частицы из потенциальной ямы

Благодаря тепловому движению частица может выйти из потенциальной ямы глубиной А, или преодолеть потенциальный барьер высотой A. Получим характерное время выхода τ.

По определению плотности потока для одной частицы получаем

.

Сравниваем с

, (П.5.12)

получаем

, (П.5.14)

₀ – характерное время выхода при . Закон Аррениуса (1889 г.) – время выхода частицы возрастает экспоненциально с ростом глубины ямы. Квантовая механика подтвердила этот вывод.

Сванте Август Аррениус (1859–1927)

Аррениус – шведский физико-химик и астрофизик, лауреат Нобелевской премии по химии 1903 г. Разработал теорию проводимости электролитов на основе диссоциации молекул растворенного вещества на ионы. Заложил основы химической кинетики. В 1896 г. обосновал роль углекислого газа в парниковом эффекте атмосферы. Излучение Солнца в оптическом и ближнем инфракрасном диапазоне (0,4–1,5) мкм проходит через атмосферу к земле. Тепловое излучение земли с температурой ~ 300 К, лежит в дальнем инфракрасном диапазоне (8–28) мкм и поглощается газами и . В результате температура нижних слоев атмосферы повышается и оказывается больше температуры теплового излучения, идущего в космос от планеты. Парниковый эффект у Земли , у Венеры – . Аррениус высказал гипотезу о панспермии – зарождение жизни на Земле вызвано живыми спорами, попавшими на Землю из космоса с других планет.

Распределение Больцмана

Рассматривается распределение частиц идеального газа по координатам. При отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равновероятны и концентрация частиц не зависит от координат. При наличии внешнего поля частица имеет потенциальную энергию и на нее действует сила

,

направленная в сторону быстрейшего уменьшения потенциальной энергии. Сила перемещает частицы газа в указанном направлении, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц по координатам .

Получение распределения

Используем каноническое распределение для идеального газа частиц с гамильтонианом

.

Слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому разделяются распределения по импульсам и координатам

.

Для координат получаем распределение Больцмана

. (2.55)

Здесь

– вероятность обнаружения частицы в элементе объема ;

– число частиц в элементе объема ;

N – число частиц в объеме сосуда V;

– потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Условие нормировки вероятности

дает постоянную

.

Из (2.55) получаем

. (2.55а)

Если потенциальная энергия не зависит от x и y, то интегрируем (2.55а) по x и y, и находим

. (2.55б)

Здесь:

– вероятность обнаружения частицы в интервале ;

– плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном интервале координаты около z;

N – число частиц в объеме сосуда;

(2.56)

– число частиц в интервале .

Мысленно выделяем в объеме газа цилиндр с образующей вдоль z, с поперечным сечением S, и числом частиц . В интервале с объемом число частиц

,

где концентрация частиц

. (2.56а)