4. Условная вероятность. Независимость событий.

Часто интересует вер-ть появл-я С-я А после того, как некотор. С-е В уже произошло. Такую вер-ть назыв. условн. и обознач. P(A/B). Условн. вер-ть—С-я А при условии, что С-е В уже произошло,

Аналогично, условн. вер-ть С-я B при условии, что С-е A уже произошло,

Из этого следует теорема умножения (вер-ть произвед-я 2-х произвольн. С-тий равна произвед-ю вер-ти одного из С-тий на условн. вер-ть второго, при условии, что первое уже произошло): Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Распространим теорему умножения на конечное число событий: Р(А₁...А_k)=P(A₁)P(A₂/A₁)•…•P(A_k/A₁A₂…A_k-1). Вер-ть совместн. появления нескольк. произвольн. С-тий равна произвед-ю вер-ти одного из них на условн. вер-ти всех остальных, причем вер-ть каждого последующего С-я вычисл-ся в предположении, что все предыдущие С-я уже произошли.

С-я А и В назыв. независимыми, если вер-ть их произвед-я=произведению вер-тей этих С-тий: Р(АВ)=Р(А)Р(В). Для независ. С-тий, получим: Р(АВ)=Р(В)Р(А/В). След-но, для независ. С-тий условн. и безусловн. вер-ти совпадают: Р(А/В)=Р(А).

Для конечн. числа независ. С-тий вер-ть произвед-я= произвед-ю вер-тей:

.

5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть С-е А м. произойти только с одним из n несовместн. С-тий H₁…H_n, образующих полную группу: H_iH_j= Ø, i≠j, H₁+…+H_n= , тогда A=AH₁+AH₂+…+AH_n.

Т.к. С-я H_i и H_j несовместны, то и (AH_i) и (AH_j) явл. несовместными. Тогда по теореме сложения

Применяя теор. умнож-я (Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)= =Р(В)Р(А/В)) к кажд. слагаемому, получим формулу полной вероятности:

С-я H₁, H₂,…, H_n часто назыв. гипотезами. Иногда интересует, как перераспределятся вер-ти гипотез после того, как С-е А уже произошло:P(H_j/A).По теор. умнож-я P(AH_j)=P(A)P(H_j/A)=P(H_j)P(A/H_j)

Подставляя в знаменатель формулу полн. вер-ти, получим формулу Байеса:

6. Схема независимых испытаний Бернулли.

Пусть производится последоват-ть n независ. испытаний, каждом из кот. возможно только 2 исхода: С-е А или появится или не появится.

Обозначим вер-ть появл-я С-я Р(А)=р, непоявл-я ,p+q=1.

Элемент. С-е в схеме Бернулли понимается последоват-ть наступлений и ненаступлений С-я А в n испытаниях.

Обозначим А={1}, ={0}. Тогда элемент. исход м. представить в виде вектора, состоящего из нулей и единиц: (1,0,…, 1).

Найдем вер-ть того, что в n испытаниях С-е А появится ровно m раз. Найдем сначала вер-ть того, что в 3-х испытаниях С-е А появится 2 раза при условии, что вер-ть наступл-я в одном испытании=p. При этом возможны след. элемент. исходы: (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1).

Вер-ть кажд. элемент. исхода одинакова и=p²q. Т.обр., вер-ть того, что в 3-х испытаниях С-е наступит 2 раза

.

Для произвольн. m и n вер-ть одного элемент. исхода= p^mq^n-m . Число таких элемент. исходов=числу сп-бов разместить m единиц по n местам, а это по определению есть число сочетаний из n элементов по m. Получим формулу Бернулли

.

Часто интересует вер-ть появл-я С-я А не ровно m раз, а от m₁ до m₂ раз включит-но

.