- •1.Случайные события. Действия над ними
- •3. Формулы комбинаторики. Гипергеом. Распред-е.
- •4. Условная вероятность. Независимость событий.
- •5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •7. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •8. Плотность распр. Вероятностей и ее свойства.
- •9. Математическое ожидание и его свойства.
- •10. Дисперсия и ее свойства.
- •11.Коэффициент корреляции и ковариации
- •12. Осн. Дискр. Распределения случайных величин.
- •13. Равномерное показательное распределение.
- •15. Закон больших чисел (збч).
- •16. Центральная предельная теорема.
- •17. Выборочный метод.
- •18. Эмпирическая функция распределения.
- •19. Полигон и гистограмма.
- •20. Числовые характеристики выборки.
- •21. Точечное оценивание.
- •22. Доверительные интервалы.
- •23. Доверит. Инт-лы для оценки мат. Ожид. Норм. Распр. При неизвестном σ
- •24. Распр-е χ2 (Xи- квадрат), Стьюдента и Фишера.
- •25. Проверка статистических гипотез.
- •26. Критерий согласия Пирсона.
- •27. Вычисление теор. Частот для норм. Распр.
- •28. Парная регрессия.
- •29. Парный коэффициент корреляции.
- •30. Проверка гипотез о достоверности коэф. Кор.
15. Закон больших чисел (збч).
(ЗБЧ) показ., что ср. результат при дост. большом кол-ве испытаний утрачивает случайный
хар-р и может быть предсказан с дост. точностью.
Нерав-во Чебышева. Сходимость случ. послед-тей
Если случ. величина Х имеет мат. ожид. МХ=а и дисп. DX, то для люб. ε>0 справ-во нер-во Чебышева:
. Нер-во Ч. м. записать в др. форме:
Во 2-ой формуле оно устанавлив. ижн. границу вер-ти события, в 1-ой—верхнюю.
Нер-во Ч. справ-во для люб. случ. величин. В частности, для случ. величин X=m, имеющей биномин. Распр. с мат. ожид. МХ=а=np и дисп. DX=npq, оно принимает вид
Для частости m/n события в nнезавис. Испытаниях, в каждом из кот. оно м. произойти с вер-тью р=М(m/n)=а, дисп. кот. D(m/n)=pq/n, нер-во Ч. им. вид
Суть закона больших чисел: если число случайных величин неограниченно растет, то их среднее арифметическое утрачивает смысл случайной величины и стремится к постоянной величине, равной среднему арифметическому их математических
ожиданий:
> - стрелочка.
16. Центральная предельная теорема.
Многие задачи ТВ связ. с изуч-ем суммы независ. случ. величин, кот. при определен. усл-ях им. распред-е, близкое к норм. Эти усл-я выраж-ся центр. пред. теоремой(ЦПТ). Пусть 1, 2,…, n,…– послед-ть независ. случ. величин. Обозначим ηn= 1 + 2 +…+ n . Говорят, что к послед-ти 1, 2,…, n,… применима ЦПТ, если при n→∞ закон распр. ηn стремится к норм.:
Суть ЦПТ: при неограничен. увеличении числа случ. величин закон распр. суммы стремится к норм.
Частным случаем ЦТП явл. интегр. пред. теорема Муавра-Лапласа .
Док-во: Ранее показано, что Мμn=np, Dμ =npq. Пусть a=-∞, b=x, тогда
Сформулир. ЦПТ для одинаково распределен. cлуч. величин: Теорема: Пусть с.в. 1, 2,…, n ,… независимы, одинаково распределены, им. конечные мат. ожид. и дисп. . Тогда к этой последов-ти применима ЦТП:
17. Выборочный метод.
Сов-ть объектов, взятых для исслед-я, назыв. выборкой. Сов-ть объектов, из кот. взята выборка, наз. генеральной. Число объектов сов-ти наз. объемом.
Чтобы выборка хорошо отражала генер. сов-ть, она д.б. случ. и выбор. знач-я д.б. независимыми. Перечень вариантов, записан. в возрастающем порядке и соответствующих частот (относит. частот), наз. стат. распред-ем выборки или вариац. рядом.
Относит. частотами наз. отнош-е частоты к объему выборки:
.
18. Эмпирическая функция распределения.
Эмпирич. ф-цией распр. наз. ф-я, определяющая для каждого знач-я x относит. частоту события (X<x)
- число вариант меньших x, n- объем выборки.
В теории вер-тей F(x) определяет вер-ть события (X<x). На основании теоремы Бернулли при эмпирич. ф-я распр. стрем-ся к теорет.
Т.обр., эмпир. ф-я распр. строится для оценки вида теорет. ф-ции определения.
Св-ва: 1)Для люб. x ф-ция распр. заключена в инт-ле от 0 до 1: 0≤F(x)≤1. 2)F(x)–неубывающая ф-я. 3)F(x) непрер. слева в каждой точке . 4)Если , то для каждого Если , то для каждого