11.Коэффициент корреляции и ковариации

Ковариацией случ. величин _1, ₂ наз. мат. ожид. произведения отклонений случ. величин от своих мат. ожиданий.

Св-ва ков.: 1) 2)Для независ. случ. величин ковариация=0

Обратное не верно. М. привести пример, когда ков.=0, но случ. величины зависимы. 3)Постоян. множитель выносится за знак ков.

4)

Ков. служит для качеств. хар-ки завис-ти м/у случ. величинами.

Коэф-том корреляции называется

Св-ва коэф. кор.: 1) . 2)Если 1 и 2 независ., то коэф. кор.=0. Обратное не верно. Если p=0, то говор., что ₁ и ₂ некоррелированы. 3)Если ₁ и ₂ связ. лин. завис-тью , то Причем, если a>0, то ; если a<0, то .

Если , то говор., что ₁ и ₂ связ. кор. завис-тью, тем более тесной, чем ближе к 1.

Коэф. кор. служит для количествен. хар-ки завис-ти случ. величин.

12. Осн. Дискр. Распределения случайных величин.

Рассмотрим схему Бернулли. Производ-ся послед-ть n независ. испытаний, в кажд. из кот. возможно только 2 исхода Р(А)=р, Р(Ā)=q, p+q=1. Возможн. знач-я этой величины μ:0,1,…,m,…,n. Вер-ть принять эти знач-я вычисл-ся по формуле Бернулли: Закон распр. диск. cлуч. велич., определяем. по формуле наз. биномиальным. Бином. распр. им. 2 пар-ра: n и p. Найдем их вероятностн. смысл. Для этого вычислим мат. ожид. и дисперсию. Случ. велич. μ м. представ. в виде суммы независ. слагаемых μ=μ₁+μ₂+…+μ_n,μ_i–число появлений соб-я А в одном (i—ом) испытании. Закон распр. μ_i. Мат. oжид.: Дисперсия: Dμ=npq, σμ=корень из npq

Распр. Пуассона. Возможн. знач-я случ. велич. :0,1,...,m,…Распр. Пуассона наз. распр. вер-тей дискр. случ. величины, определяем. формулой

где a-пар-р распр. Пуассона. Найдем числов. хар-ки этого распр. .Для вычисл-я дисп. рассмотрим рав-во Итак, характерн. св-вом распр. П. явл. рав-во мат. ожид. и дисп.: Мξ=а, Dξ=a.

Геом. распр. Производ-ся послед-ть независ. испытаний, в кажд. из кот. возможно только 2 исхода Р(А)=р, Р(Ā)=q, p+q=1. Испытания произв-ся до появл-я события А. Возможн. знач-я случ. величины =1,...,m,...

вер-ти этих значений Геом. распр. наз. распр. дискр. случ. велич. , определяем. формулой.

Геом. распр. им. один пар-р p. Мат. ожид. и дисп.: Вероятностн. смысл пар-ра р–велич., обратная мат. ожид.

13. Равномерное показательное распределение.

Плотность распр.: График плотности вер-ти равном. распр. Ф-я распр.:

График ф-ции равном. распр. Равном. распр. им. 2 пар-ра a и b. Мат. ожид. и дисп.: , .

Показат., наз. распр. вер-тей непрерывн. случ. велич., кот. описыв-ся плотностью Показат. распр. им. 1 пар-р λ. График плотности вер-ти показат. распр.

Ф-я распр.: , , Характерн. св-вом показат. распр. явл. рав-во мат. ожид. и среднеквадратич. отклонения: .

14. Норм. (распр. Гаусса), назыв. распр. вер-тей непрер. случ. величины, кот. описыв-ся плотностью

, .

График плотности норм. распр.

Норм. распр. определ-ся 2 пар-рами а и σ. М. показ., что Мξ=а, Dξ=a², σξ=σ. При a=0 и σ=1получим станд. норм. распр.: .

Ф-я станд. норм. распр. им. вид

наз. функцией Лапласа.

Ф-ции Ф₀(х) и Ф(х) связ. м/у собой соотнош-ем .

Вер-ть попадания норм. случ. велич. в задан. инт-л: . Вер-ть задан. отклонения от мат. ожид. для норм. случ. величины

. Преобраз. данную формулу положив , получим .

Правило трех сигм: Если случ. велич. распределена нормально, то с вер-тью, близкой к единице, абсолютн. велич. ее отклон-я от мат. ожид. не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.