28 Сентября 2006 г., протокол №2

Р е ц е н з е н т ы:

кандидат физико-математических наук В.В. Балащенко

кандидат физико-математических наук С.С. Белявский

Березкина, Л.Л.

Б48 Линейная алгебра: пособие для студентов спец. 1-31 04 01 «Физика (по направлениям)», 1-3104 02 «Радиофизика», 1-3104 03 «Физическая электроника», 1-98 01 01-02 «Компьютерная безопасность (радиофизические методы и программно-технические средства)» / Л.Л. Березкина. - Минск: БГУ, 2008. - 183 с.

ISBN 978-985-485-877-7.

В пособии рассматриваются основные разделы высшей алгебры, входящие в программу курса высшей математики для физических факультетов: матрицы и определители, системы линейных уравнений, линейные и евклидовы пространства и линейные операторы на этих пространствах, а также элементы тензорной алгебры.

Для студентов физических специальностей БГУ.

Предисловие

Учебное пособие написано на основе лекций, читаемых автором в течение многих лет на факультете радиофизики и электроники Белорусского государственного университета. Бурное развитие электроники вообще и компьютерной техники в частности заставляет включать в учебные планы факультетов, обучающих этим специальностям, все новые и новые учебные курсы. В связи с этим сокращается время для традиционного курса высшей математики, тогда как роль математики в изучении специальных дисциплин возрастает.

Толчком к написанию данного пособия послужило то, что раздел «Элементы тензорной алгебры» из курса математического анализа был перенесен в курс высшей алгебры без увеличения количества часов в учебном плане, отведенных этому предмету. Это потребовало пересмотра многих доказательств с целью приведения изложения к единому стилю, согласующемуся со стилем изложения тензорной алгебры на физических факультетах. Таким образом, начиная с третьей главы основные доказательства проводятся в индексной или координатной форме с применением соглашения Эйнштейна. Результаты формулируются также и в традиционном матричном виде.

В пособии отсутствует раздел, посвященный численным методам линейной алгебры, так как на факультете радиофизики и электроники читается общий курс «Численные методы».

В тексте применяются общепринятые в математике обозначения. Кроме того, начало доказательства обозначается символом ►, конец – ◄, начало решения примера – символом ▼, а конец – символом ▲. При нумерации аксиом используется символ *, а при нумерации свойств, требующих доказательства, – символ º.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………….……………..3

Глава 1. Матрицы и определители

§ 1. Матрицы и линейные операции над ними………………..…….……...7

§ 2. Умножение матриц……………………………….………………….....10

§ 3. Степени квадратной матрицы………………………...……………….13

§ 4. Транспонирование матриц……………………………………….........14

§ 5. Блочные матрицы…………………………………………………........15

§ 6. Определители…………………………………………………………..16

§ 7. Выражение определителя через элементы матрицы……….………..27

§ 8. Обратная матрица……………………………………………………....29

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Правило Крамера решения систем линейных уравнений…..………28

§ 2. Ранг матрицы……………………………………………….….………29

§ 3. Теорема о базисном миноре……………………………….….………32

§ 4. Критерий совместности системы линейных уравнений……..….…..35

§ 5. Однородные системы линейных уравнений………………………….36

§ 6. Неоднородные системы линейных уравнений……………………….39

§ 7. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений………………..40

§ 8. Ещё раз об обратной матрице……………………………………...….44

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Определение линейного пространства и простейшие следствия

из аксиом………………………………...……………………………..47

§ 2.Линейная зависимость и независимость элементов линейного про-

странства……………………………………………………...………...51

§ 3. Базис и координаты в линейном пространстве……………………....55

§ 4. Размерность линейного пространства………………………...………59

§ 5. как пример аффинного, евклидова и метрического пространст-

ва...............................................................................................................61

§ 6. Подпространства линейного пространства……………………..……65

§ 7. Линейные оболочки……………………………………………………66

§ 8. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства…...68

§ 9. Преобразования базисов и координат……………………………...…70