§ 7. Выражение определителя через элементы матрицы Перестановкой множества

(1.14)

будем, как обычно, называть любое упорядоченное множество из этих элементов. Так, например, (2, 1, 3) – одна из перестановок множества {1, 2, 3}. Пусть

– (1.15)

некоторая перестановка множества (1.14). Меняя местами какие-либо пары элементов, любую перестановку (1.15) после конечного числа шагов можно привести к стандартной перестановке

.

Так, чтобы привести перестановку (2, 4, 1, 3) к стандартной, требуется три перемены (их еще называют инверсиями): (2, 4, 1, 3) → (1, 4, 2, 3) → (1, 2, 4, 3) → (1, 2, 3, 4).

Обозначим через число перемен, которое необходимо проделать, чтобы перестановку (1.15) привести к стандартному виду. Перестановка (1.15) называется четной, если – четное число, и нечетной в противном случае.

Введем в рассмотрение числа

и назовем их символами Леви – Чивита. Для удобства записи некоторых формул символы Леви – Чивита определим и при одинаковых значениях индексов, считая их в этом случае равными нулю.

Теорема 1.5. Пусть А – квадратная матрица -го порядка. Тогда

(1.16)

(в правой части равенства (1.16) сумма берется по всем перестановкам множества (1.14)).

Проверим справедливость утверждения для определителя третьего порядка:

=

.

Для определителей n-го порядка утверждение доказывается методом математической индукции.

Рассмотрим пространство свободных векторов. Положим для единообразия

, (1.17)

выберем три произвольных вектора и каждый из них разложим по базису (1.17):

.

Тогда

, .

§ 8. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице А, если

. (1.18)

Свойства обратных матриц

1°. Если матрица А имеет обратную, то А^–1 тоже имеет обратную, причем (А^–1)^–1 = А.

2°. Если матрица А имеет обратную и , то матрица αА также имеет обратную, причем (αА)^–1 = (1/α)А^–1.

3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .

4°. Если матрицы А и В одного порядка и имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем (АВ)^–1 = В^–1А^–1.

►Докажем 1-е и 4-е свойства.

Обозначим В = А^–1 и покажем, что А является обратной к В. Для этого проверим выполнение равенства (1.18): ВА = А^–1А = Е; АВ = АА^–1 = Е.

Теперь покажем, что В^–1А^–1 является обратной к С = АВ:

С(В^–1А^–1) = (АВ)(В^–1А^–1) = А(ВВ^–1)А^–1 = АЕА^–1 = АА^–1 = Е;

(В^–1А^–1)С = (В^–1А^–1 )(АВ) = В^–1(А^–1А)В = В^–1В = Е

(везде используется ассоциативность произведения матриц).◄

Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.

Лемма 1.6 (необходимое условие существования обратной). Если квадратная матрица А имеет обратную, то А – невырожденная матрица.

►На основании свойства 8° § 6 из (1.18) вытекает:

,

значит, . ◄

Теорема 1.6 (существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

►Существование. Пусть . Покажем, что записанная матрица действительно обратная к А. Обозначим – элементы матрицы , , а обозначим матрицу . Тогда

= [теорема аннулирования для строк] = .

Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, приведенная выше матрица удовлетворяет определению обратной к А.

Единственность. Предположим, что некоторая невырожденная квадратная матрица А имеет две разные обратные матрицы: и . Тогда

.◄

Замечание. Мы не только доказали для невырожденной матрицы существование обратной, но даже показали, какая конкретно матрица является обратной данной. Такое доказательство называется конструктивным.

26