- •Березкина, л.Л. Линейная алгебра
- •28 Сентября 2006 г., протокол №2
- •Предисловие
- •Оглавление
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •Глава 4. Линейные операторы
- •Глава 5. Билинейные и квадратичные формы
- •Глава 6. Евклидовы пространства
- •Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •§ 2. Умножение матриц
- •Примеры
- •Свойства произведения матриц
- •§ 3. Степени квадратной матрицы
- •§ 4. Транспонирование матриц
- •§ 5. Блочные матрицы
- •§ 6. Определители Определение определителя квадратной матрицы
- •Основные леммы об определителях
- •Основные свойства определителей
- •§ 7. Выражение определителя через элементы матрицы Перестановкой множества
- •§ 8. Обратная матрица
- •Свойства обратных матриц
Примеры
1. ; ; ; .
▼ Определены произведения AB; DA; BC; BD; DB; CD. Как видим, если произведение AB определено, то это вовсе не означает, что и произведение BA определено тоже. В нашем случае оба произведения определены только для одной пары: BD и DB. Их и вычислим:
;
.
Заметим, что произведения DB и BD не только не совпадают, но даже имеют разные размеры (конечно, по приобретении опыта матрицы надо перемножать устно, а не расписывать так подробно).▲
2. .
▼ Матрицы A и B – квадратные матрицы второго порядка, определены как произведение AB, так и BA. Найдем оба этих произведения:
▲
Из приведенных примеров видим, что в том случае, когда оба произведения AB и BA существуют, они могут быть как одинаковыми, так и разными. Поэтому говорят, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Кроме того, второй пример показывает, что произведение матриц не обладает еще одним известным свойством произведения чисел: если произведение равно 0, то один из сомножителей равен 0. В приведенном примере произведение ненулевых матриц равняется нулевой. Поэтому в матричных равенствах ни в коем случае нельзя сокращать на матрицу. Тем не менее, некоторыми из известных свойств операция произведения матриц обладает.
Свойства произведения матриц
1°. (AB)C = A(BC) – ассоциативность.
Это свойство надо формулировать так: если определены произведения матриц AB и (AB)C, то определены и произведения BC и A(BC), причем (AB)C = A(BC).
2°. A(B + C) = AB + AC – дистрибутивность умножения относительно сложения.
3°. (A) B = A (B) = (AB).
4°. A = A; AE = A.
Докажем первое свойство, остальные сформулируйте текстом и докажите самостоятельно – в качестве упражнения. Итак, доказательство ассоциативности:
►Пусть . Так как существует произведение АВ, то , значит, . Так как существует произведение , то , тогда . А значит, произведение определено. Пусть . Тогда определено и произведение . Таким образом, мы видим, что размеры матриц и совпадают, и для доказательства равенства этих матриц остается доказать равенство их соответствующих элементов. Приступаем к вычислениям:
(1.5)
. (1.6)
На основании леммы 1.1, сравнивая (1.5) и (1.6), получаем
: ,
и поэтому F = H.◄
§ 3. Степени квадратной матрицы
Если А – квадратная матрица, то определено произведение АА, которое называется квадратом матрицы А и обозначается А2 . Квадрат матрицы А является квадратной матрицей того же порядка, что и А, поэтому определено и произведение АА2. Вообще, если для квадратной матрицы определена степень , то по определению .
Лемма 1.2. Для любой квадратной матрицы А и для любого натурального n справедливо равенство .
►Доказательство проведем методом математической индукции.
Проверяем утверждение при n = 1: А А = A A – истинно.
Предполагая, что утверждение верно при n = k, доказываем, что оно верно при n = k+1.
[определение k + 1-й степени] = [предположение индукции] = [ассоциативность произведения] = [определение k + 1-й степени] = .◄
Если произведение матриц коммутативно, то они называются коммутирующими или перестановочными. Таким образом, степени одной и той же квадратной матрицы перестановочны.
Можно доказать, что натуральные степени квадратной матрицы обладают следующими свойствами:
1°. : ;
2°. : .
Если , то по определению считается, что A0 = E.