§ 4. Транспонирование матриц

Определение. Матрица называется транспонированной к матрице , если

.

Таким образом, из определения видим, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Например, если

, то .

Кроме обозначения A^T для матрицы, транспонированной к А, используют еще и следующие: .

Свойства операции транспонирования

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

Первые три свойства практически очевидны. Докажем четвертое, которое формулируется так: если определено произведение матриц АВ, то определено и произведение , причем

. (1.7)

►Пусть . Так как определено произведение АВ, то В имеет размеры , , , а значит, определено произведение . Обозначим , тогда . Как видим, матрицы и из левой и правой частей равенства (1.7) имеют одинаковые размеры, и для доказательства их равенства остается доказать равенство соответствующих элементов.

, (1.8)

. (1.9)

Сравнивая (1.8) и (1.9), видим, что .◄

§ 5. Блочные матрицы

Иногда по разным причинам матрицу удобно разбить на блоки. Полученная матрица, элементами которой являются опять же матрицы, называется блочной. Например, матрица В разбита на 4 блока, а матрица С – на 6:

,

.

Заметим, что если − блочная матрица, то все её элементы − матрицы − при фиксированном i имеют одинаковое число строк, а при фиксированном j − одинаковое число столбцов.

Если матрицы имеют одинаковые размеры и разбиты на блоки одинаковым образом, то их можно складывать по тому же принципу, что и обычные. Обычным образом блочные матрицы умножаются и на число.

Умножаются блочные матрицы формально также как обычные. Пусть . Тогда

.

При этом необходимо, чтобы существовали все произведения . Например, запишем по такому правилу произведение приведенных блочных матриц В и С:

.

Убедимся в том, что в действительности . Посчитаем для проверки элемент . Чтобы его найти, следует сложить элементы матриц и , расположенные в первой строке и первом столбце. Итак,

,

что действительно совпадает с соответствующим элементом матрицы . Аналогично проверяется равенство остальных элементов.

Для блочных матриц легко задается и операция транспонирования. Например,

,

т. е. блочная матрица транспонируется так же, как и обычная, только все её элементы также заменяются на транспонированные.

Блочную матрицу будем называть блочно-диагональной, если при матрицы являются квадратными, их главные диагонали расположены на главной диагонали матрицы В, а при . В этом случае нет необходимости нумеровать диагональные блоки двумя индексами, достаточно одного. Блочно-диагональную матрицу с блоками на главной диагонали будем обозначать так: .

§ 6. Определители Определение определителя квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие число, которое назовем ее определителем или детерминантом и будем обозначать , следующим образом:

а) если , то (определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу);

б) если , то

;

в) если известно, как найти определитель матрицы -го порядка, то определитель матрицы -го порядка задается так:

(1.10)

где − определитель матрицы -го порядка, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и -го столбца.

Определитель квадратной матрицы n-го порядка будем просто называть определителем n-го порядка.

В развернутом виде определитель n-го порядка записывается как таблица, ограниченная с обеих сторон вертикальными чертами (по одной с каждой стороны):

Приведенное выше определение является определением по индукции или определением с помощью разложения по первой строке.

Пусть А – некоторая матрица, не обязательно квадратная. Выделим в ней k строк и k столбцов. Элементы, расположенные на пересечениях выделенных строк и столбцов, образуют определитель k-гo порядка, который называется минором k-гo порядка матрицы А (или определителя) и обозначается

, (1.11)

где – номера выделенных строк, – номера выделенных столбцов.

Если А – квадратная матрица n-го порядка (или определитель), то элементы, оставшиеся после вычеркивания выделенных строк и столбцов, также образуют определитель порядка n – k. Его называют минором, дополнительным к минору (1.11), и обозначают . Алгебраическим дополнением к минору (1.11) называется число

.

Очевидно, алгебраическое дополнение к некоторому минору от дополнительного минора может отличаться разве что знаком. Например, если

,

то

Каждый элемент матрицы А (или определителя) является ее минором первого порядка, и поэтому для него определяется как дополнительный минор, так и алгебраическое дополнение. В алгебраическом дополнении к одному элементу оба индекса станем писать снизу, считая, как обычно, первый индекс номером вычеркиваемой строки, а второй – столбца.

Используя введенные обозначения, равенство (1.10) можно записать так:

Таким образом, согласно определению, определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.