Сложение матриц

Определение. Суммой матриц и называется матрица такая что

.

Таким образом, из определения видно, что складываются матрицы только одинаковых размеров, матрица-сумма имеет те же размеры, что и матрицы-слагаемые, причем при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.

Очевидно, что сложение произвольных матриц одинаковых размеров обладает следующими свойствами.

1°. A + B = B + A (коммутативность).

2°. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность).

3°. (существование нейтрального элемента).

4°. (существование противоположного элемента).

Матрица О из третьего свойства называется нейтральным элементом операции сложения, этим свойством обладает нулевая матрица; матрица (–А) из 4-го свойства называется противоположной матрицей для А. Этим свойством обладает матрица, элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А (т. е. если , то ).

Во множестве матриц одинаковых размеров задаётся и операция вычитания как операция, обратная сложению. Поэтому вычитание матриц сводится к вычитанию их соответствующих элементов.

Умножение матрицы на число

Определение. Произведением матрицы на число  называется матрица такая, что

: .

Таким образом, из определения видим, что при умножении матрицы на число получаем матрицу тех же размеров, причем все элементы матрицы умножаются на то же число.

Нетрудно убедиться, что для операции умножения матрицы на число справедливы следующие свойства.

1°. (А + В) = А + В.

2°. ( + ) A = A + A.

3°. () A = (A).

4°. 1A = A.

Здесь А и В – произвольные матрицы одних и тех же размеров,  и  – произвольные числа

Операции сложения и умножения матриц на число впредь будем называть линейными операциями.

§ 2. Умножение матриц

Лемма 1.1. Для любой совокупности чисел , снабженных двумя индексами i и j, где справедливо равенство

(1.1)

►Расположим заданные числа в матрицу, считая первый индекс номером строки, а второй – номером столбца. Найдем сумму всех чисел двумя способами: просуммируем числа во всех строках и сложим все полученные суммы (сумма (1.2)), а затем просуммируем числа в столбцах, и опять сложим все полученные суммы (сумма (1.3)). На основании свойств коммутативности и ассоциативности сложения чисел результаты будут одинаковыми. Вот как это выглядит:

Сравнивая (1.2) и (1.3), получаем (1.1).◄

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица AB = такая, что

: . (1.4)

Анализируя определение, замечаем, что умножать матрицы можно только в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго, т.е. если размеры матриц-сомножителей поставить рядом, то посередине должны получиться одинаковые числа, а если эти одинаковые числа зачеркнуть, то оставшиеся числа как раз и будут размерами матрицы-произведения ( ).

Кроме того, из формулы (1.4) видим, что для вычисления элемента матрицы-произведения, расположенного в i-й строке и k-м столбце, следует i-ю строку первого сомножителя умножить на k-й столбец второго (т. е. каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и результаты сложить, как это делается при вычислении скалярного произведения).