- •Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •§1. Некоторые сведения о матрицах
- •Ортогональные и унитарные матрицы
- •Свойства ортогональных и унитарных матриц
- •Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц
- •§ 2. Сопряженный линейный оператор
- •Свойства сопряженных операторов
- •§ 3. Самосопряженные линейные операторы
- •§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей
- •Если обозначить
- •§ 5. Изометрии
- •§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой
- •Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве
- •Ортогональные операторы на евклидовой плоскости
- •Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •Симметричные операторы в
- •Разложение произвольного линейного оператора в действительном евклидовом пространстве в произведение симметричного и ортогонального
- •§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм
- •Правило приведения пары квадратичных форм к каноническому виду
§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей
второго порядка к каноническому виду
Теорема 7.7. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид.
► Пусть на евклидовом пространстве задана квадратичная форма k. Выберем в какой-либо ортонормированный базис
, (7.7)
и пусть А – матрица квадратичной формы k в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица – диагональная. Так как матрица Т ортогональная, то по теореме 7.1 в существует ортонормированный базис
(7.8)
такой, что Т – матрица перехода от (7.7) к (7.8). Если Ã – матрица квадратичной формы k в базисе (7.8), то = = = = А'. Матрица А' – диагональная и поэтому в базисе (7.8) квадратичная форма k имеет канонический вид.◄
Замечание. Диагональными элементами матрицы А' являются собственные значения матрицы А.
Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна.
Теорема 7.8. Любую действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования переменных (иная формулировка теоремы 7.7).
Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными.
2. Для любой поверхности второго порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.
Для любой кривой второго порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением.
Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид
.
▼1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:
, , .
Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Чтобы получить ортонормированный базис, векторы и нормируем, т.е. делим каждый на его длину: , . Канонический вид квадратичной формы выглядит так: . Матрица перехода (она же матрица линейного невырожденного преобразования переменных) имеет вид
.
2. По матрице T записываем линейное невырожденное преобразование переменных:
(7.9)
Подставляем выражение переменных по формулам (7.9) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (7.9) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные.
Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов и с теми же коэффициентами, что и в исходном уравнении. Например, коэффициент при вычисляется так: , а при – так: .
Таким образом, после преобразования (7.9) приходим к уравнению
,
которое равносильно следующему:
.
3. Преобразуем это уравнение:
и применим к нему преобразование параллельного переноса:
После этого уравнение кривой принимает вид
,
откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.
4 . Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку , в которой . Значит, . Можно узнать координаты точки и в исходной системе координат. Для этого значения и подставим в формулы (7.9): . Итак, . Направление новых осей удобнее определять не по векторам и , а по векторам и , так как они имеют целочисленные координаты (рис. 7.1).
Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка – занятие достаточно трудоемкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях.
Лемма 7.2. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в ее уравнении равнялись нулю.
►Обозначим рассматриваемую кривую второго порядка. Пусть ее уравнение имеет вид:
. (7.10)
Необходимость.
{О – центр симметрии кривой Ф}
. (7.11)
Рассмотрим два случая.
а) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки и , не лежащие с началом координат на одной прямой. Из (7.11) получаем
(7.12)
причем . Поэтому система (7.12) имеет единственное решение .
б) Ф – сдвоенная прямая . Очевидно, утверждение истинно.
Достаточность очевидна, так как уравнение кривой Ф имеет вид
.◄
Обозначим левую часть уравнения (7.10). Тогда
(7.13)
Теорема 7.9. Для того чтобы точка была центром симметрии кривой второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений
(7.14)
►Пусть – центр симметрии кривой Ф с уравнением (7.10). Применим преобразование параллельного переноса , которое помещает начало координат в точку . При этом преобразовании уравнение (7.10) изменится так:
Последнее уравнение равносильно следующему:
. (7.15)