- •Глава 7. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •§1. Некоторые сведения о матрицах
- •Ортогональные и унитарные матрицы
- •Свойства ортогональных и унитарных матриц
- •Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц
- •§ 2. Сопряженный линейный оператор
- •Свойства сопряженных операторов
- •§ 3. Самосопряженные линейные операторы
- •§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей
- •Если обозначить
- •§ 5. Изометрии
- •§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой
- •Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве
- •Ортогональные операторы на евклидовой плоскости
- •Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •Симметричные операторы в
- •Разложение произвольного линейного оператора в действительном евклидовом пространстве в произведение симметричного и ортогонального
- •§ 7. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм
- •Правило приведения пары квадратичных форм к каноническому виду
§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой
Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве
Ортогональные операторы на евклидовой плоскости
Выберем на евклидовой плоскости какой-либо ортонормированный базис . Если А – матрица ортогонального оператора в этом базисе, то она ортогональна. Значит, . Найдем характеристический многочлен матрицы А:
.
Рассмотрим сначала случай, когда . Тогда характеристическое уравнение имеет вид . Это уравнение имеет два различных действительных корня. Значит, ортогональный оператор имеет два различных собственных значения: и . В таком случае в существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора , в котором матрица оператора имеет диагональный вид:
.
Линейный оператор с этой матрицей, как мы знаем, есть не что иное, как оператор симметрии относительно оси, направление которой задается вектором .
Пусть теперь . Определим в этом случае элементы матрицы А, учитывая, что она ортогональная, т. е. что . Пусть
.
Тогда
,
откуда получаем систему для определения элементов матрицы:
(7.24)
Из первых двух уравнений системы (7.24) видно, что можно положить , где и – некоторые углы, причем (так как нам важно знать не сами углы, а значения их синусов и косинусов). Последние два уравнения этой системы определяют соотношения между углами и :
.
Значит, матрица А выглядит так:
.
Как мы уже знаем, это матрица оператора поворота плоскости на угол вокруг начала координат. В частности, если , то , т. е. получаем тождественный оператор. Если же , то . Этой матрице соответствует оператор симметрии относительно начала координат.
Таким образом, ортогональные операторы на евклидовой плоскости – это тождественный оператор, симметрия относительно начала координат или относительно некоторой оси, либо поворот плоскости вокруг начала координат.
Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
Известно, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Поэтому всякий линейный, в том числе и ортогональный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение , причем . Пусть – единичный собственный вектор ортогонального оператора с собственным значением . Обозначим и рассмотрим . Очевидно, – двумерное евклидово пространство. Выберем произвольные векторы и . Тогда
– собственный ортогональность .
Обозначим такой линейный оператор, что
( отличается от только областью определения). Очевидно, – тоже ортогональный оператор. Как и в любом евклидовом пространстве, в пространстве можно выбрать ортонормированный базис . Тогда – ортонормированный базис пространства . Матрица оператора в этом базисе имеет блочно диагональный вид ,
где – матрица оператора в базисе . В силу того, что оператор ортогональный, матрица тоже ортогональная. Это значит, что в подходящем ортонормированном базисе она может быть одной из матриц:
.
Перечисляя всевозможные принципиально различные виды матриц в подходящем ортонормированном базисе пространства , получаем
а) .
, – тождественный оператор;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – поворот вокруг оси с направлением вектора .
б) .
, – симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;
, – симметрия относительно начала координат;
, – симметрия относительно оси с направлением вектора ;
, – композиция поворота вокруг оси с направлением вектора и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этому же вектору.
Таким образом, все ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве – это: тождественный; симметрия относительно плоскости; симметрия относительно оси; симметрия относительно начала координат; поворот вокруг оси и композиция поворота вокруг оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этой же оси.