Правило приведения пары квадратичных форм к каноническому виду
Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис
, (7.28)
и
обозначим
и
матрицы форм
и
соответственно в этом базисе. В
пространстве
скалярное произведение зададим с помощью
симметричной билинейной формы,
соответствующей квадратичной форме
.
Это значит, линейное пространство
превращается в евклидово
,
а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с
.
Как и во всяком евклидовом пространстве,
в
существует ортонормированный базис
. (7.29)
Если
–
матрица Грама базиса (7.28), а
–
матрица квадратичной формы
в этом базисе, то
,
.
В силу ортонормированности базиса
(7.29)
,
значит,
,
откуда получаем, что
.
Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение
(7.30)
а
чтобы найти векторы искомого базиса,
следует для каждого собственного
значения
решить систему линейных уравнений
,
(7.31)
где
–
координатный столбец искомого собственного
вектора в базисе (7.29). Но
{(7.30)}
{
}
{
}
{
},
откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению
.
(7.32)
Система
же (7.31) преобразуется так: {(7.31)}
{
}
{
}
{
}.
Если
– координатный столбец искомого
собственного вектора в базисе (7.28), то
,
значит, система (7.31) равносильна следующей:
.
(7.33)
Таким образом, диагональные элементы матрицы – это корни уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .
Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:
1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .
2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .
3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .
4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).
5. Составляем
матрицу перехода от исходного базиса
к ортонормированному базису из собственных
векторов и по ней записываем линейное
невырожденное преобразование переменных
.
Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы
и
.
▼1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:
,
.
Исследуем
на знакоопределенность форму
по критерию Сильвестра:
.
Итак, положительно определена форма
.
Значит,
,
.
2.
.
Записываем
характеристическое уравнение
и находим его корни:
Канонический
вид квадратичной формы
,
а формы
.
3.
:
4.
5.
;
